B.平面ABC必平行于α C.平面ABC必与α相交
D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
解析：当三点A、B、C不在平面α的同侧时，平面ABC与α相交，相交时也可能垂直于α,排除A、C. 答案：D
7.如图1-2-3-5,下列五个正方体图形中,l是正方体的一条体对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥面MNP的图形的序号是___________.(写出所有符合要求的图形的序号)
图1-2-3-5
解析：∵正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,∴可得①中直线l平行于平面MNP中的两条相交直线，∴由①能得出l⊥平面MNP；但②③中平面MNP不与①中的平面MNP平行，这样由②③不能得到l⊥平面MNP；④中易得l⊥MP，而MN也与下底面对角线平行，所以④同样可得l⊥平面MNP；问题⑤不易判断,这里略证一下:如图,E、F、G是正方体棱的中点,则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.
∵l⊥PF,l⊥FN,∴l⊥面PFN,即l⊥面PGMENF,即l⊥面PMN.
答案：①④⑤ 8.设x、y、z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是_____________.(填所有正确条件的代号)
①x为直线,y、z为平面 ②x、y、z为平面 ③x、y为直线,z为平面 ④x、y为平面,z为直线 ⑤x、y、z为直线
解析：同垂直于一直线的两面平行,同垂直于一面的两线平行,同垂直于一面的线面也平行.(不包含的话) 答案：①③④
9.在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出E点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由. 解：作EM⊥A1C于M, ∵截面A1EC⊥面AA1C1C,
∴EM⊥面AA1C1C.取AC的中点N,
∵AB=BC,∴BN⊥AC.而面ABC⊥面AA1C1C, ∴BN⊥面AA1C1C.
∴BN∥EM.∴面BEMN∩面AA1C1C=MN. 又BE∥面AA1C1C,∴BE∥MN∥A1A.
5
∵AN=NC,∴A1M=MC.而BEMN为矩形, ∴BE=MN=
1A1A,即E为BB1中点时,面A1EC⊥面AA1C1C. 210.如图1-2-3-6，OA、OB、OC分别是平面α内过O点的三条射线,P是平面α外一点,若∠POA=∠POB=∠POC,求证：PO⊥α.
图1-2-3-6
证明：若∠POA=∠POB=∠POC≠
?,作PH⊥α,HD⊥OA于D,HE⊥OB于E,连结PD、PE,则2PD⊥OA,PE⊥OB.
∵∠POA=∠POB,PO公共, ∴Rt△POD≌Rt△POE. ∴PD=PE.∴HD=HE.
∴点H在∠AOB的平分线上.
同理,点H也在∠AOC的平分线上.
∴点H是∠AOB的平分线与∠AOC的平分线的交点,即点O. ∵PO⊥平面α,∴PO⊥OA.这与∠POA≠∴∠POA=∠POB=∠POC=
?矛盾,∴假设不成立. 2?. 2∴PO⊥α.
11.如图1-2-3-7，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.
图1-2-3-7
(1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥CD；
(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图，取PD的中点E，连结AE、EN，
则有EN
1CD21ABAM. 26
故AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN平面PAD, ∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB. 又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥AE,即AB⊥MN.又CD∥AB, ∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E是PD的中点, ∴AE⊥PD，即MN⊥PD.
又MN⊥CD,∴MN⊥平面PCD.
12.如图1-2-3-8,在三棱锥ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC是等边三角形,在侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1.
图1-2-3-8
证明：延长B1C1到D,使C1D=BC,连结CD、A1D. ∵BC∥C1D,∴C1DCB为平行四边形. ∴BC1∥CD.
∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥CD.
在△A1B1D中,∵B1C1=A1C1=C1D, ∴∠B1A1D=90°,A1D⊥A1B1.
∵AA1⊥底面A1B1C1,A1D?面A1B1C1, ∴AA1⊥A1D.
∴A1D⊥面A1B1BA. ∴A1D⊥AB1.
∵AB1⊥CD,∴AB1⊥平面A1CD. ∴AB1⊥CA1.
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