A.23 C.3 3
B.
3 2
D.3
答案 D
→→→→→→→→→→→→→→→
解析 AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝AB·AD＋BC·AD＝BC·AD＝3BD·AD＝3|BD||AD→2
|cos∠BDA＝3|AD|＝3.故选D.
角度2 平面向量的模
例3 (1)(2019·济南模拟)设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 C．4 答案 B
解析 ∵a·(a－b)＝0，∴a＝a·b＝1，|a－b|＝a－2a·b＋b＝3，∴b＝4，∴|2a＋b|＝4a＋4a·b＋b＝4＋4＋4＝23.故选B.
(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|等于( ) A．5 C．3 答案 B
解析 |a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b ＝|a|＋2|a||b|cos120°＋|b|
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．23 D．43
B．4 D．1
?1?22
＝3＋2×3×|b|×?－?＋|b|
?2?
＝9－3|b|＋|b|＝13， 即|b|－3|b|－4＝0，
解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．故选B. 角度3 平面向量的夹角
22
例4 (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角
3为( )
A.C.π 43π 4
2
2
2
B.
π 2
D.π
答案 A
解析 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a－2b－a·b＝0，即a·b＝3a－2b. 22
又|a|＝|b|，
3
2
2
2
所以a·b＝3×?
22?22?22
|b|?－2b＝b，
3?3?
22b3
a·b2
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
|a||b|2222
b3
π
所以〈a，b〉＝.故选A.
4
(2)(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案
3 3
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， |3e1－e2|＝ ＝3－0＋1＝2.
同理|e1＋λe2|＝1＋λ. 所以cos60°＝＝
3e1＋
2
23e1－e2
2
＝ 3e1－23e1·e2＋e2
22
e1＋λe2
|3e1－e2||e1＋λe2|
e1·e2－λe22
2
3e1－e2
3λ－21＋λ3
. 3
3－λ1＝＝， 2
221＋λ
解得λ＝
触类旁通
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝
a·b，要注意θ∈[0，π]． |a||b|
两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a；②|a±b|＝2
2
a±b2
＝a±2a·b＋b；
2
2
22
③若a＝x，y，则|a|＝x＋y.
→→→→→
即时训练 3.(2019·济宁模拟)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 C．菱形
B．正方形 D．梯形
答案 C
→→→→→→
解析 因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB－→
AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．故选C.
4．(2019·江西六校联考)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.
答案 42
解析 由|a＋b|＝3知|a|＋|b|＋2a·b＝9， 又|a|＝2，|b|＝3，∴2a·b＝－4， ∴|a＋2b|＝|a|＋4a·b＋4|b|＝42.
5．(2019·安徽“江淮十校”联考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角余弦值为________．
1
答案 －
3
解析 ∵|a|＝|a＋2b|，∴|a|＝|a|＋4a·b＋4|b|， ∴a·b＝－|b|，
2
a·b－|b|1
∴cosθ＝＝＝－.
|a||b|3|b||b|3
2
2
2
2
2
2
2
2
→→→
考向三 向量运算的最值或范围问题
例5 (1)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，→→→
则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
A．－2 4C．－ 3答案 B
解析 解法一：(解析法)
3B．－ 2D．－1
建立坐标系如图1所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)． →→→
设P点的坐标为(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－
y)，
→→→22
∴PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2(x＋y－3y) ＝2?x＋?y－
??
2
??333?23?→→→?3?
?－4?≥2×?－4?＝－2.当且仅当x＝0，y＝2时，PA·(PB＋PC)取得
??2??
3
最小值，最小值为－.故选B.
2
解法二：(几何法)
→→→→→→→→
如图2所示，PB＋PC＝2PD(D为BC的中点)，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD.
→→→→→→→→要使PA·PD最小，则PA与PD方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA·PD)min＝－2|PA||PD→→
|，问题转化为求|PA||PD|的最大值．
3→→→
又|PA|＋|PD|＝|AD|＝2×＝3，
2→??3?3?|→→→2PA|＋|PD|?2＝∴|PA||PD|≤???＝4， 2???2?
33→→→→→
∴[PA·(PB＋PC)]min＝(2PA·PD)min＝－2×＝－.故选B.
42
→→
(2)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为线段BC上的点，则AE·DE的最小值为( ) A．2 17C． 4答案 B
→→
解析 解法一：设BE＝λBC(0≤λ≤1)，
15B．
4D．4
→→→则AE＝AB＋λBC， →
DE＝DC＋CE＝AB＋(λ－1)BC，
→→→→
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