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第十八章 勾股定理
一．基础知识点： 1：勾股定理
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直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b2
＝c）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?，则
c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2）
DHEFbAcGaCBbacabc（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：
bccbCHaaDEFbAcGaBAaDbccBb1方法一：4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证．
2方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2
2大正方形面积为S?(a?b)2?a2?2ab?b2 所以a2?b2?c2
EaC111方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)，S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证
2223：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2?1,2n,n2?1（n?2,n为正整数）；
2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数）m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数）
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关
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系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 二、经典例题精讲
题型一：直接考查勾股定理 例１.在?ABC中，?C?90?．
⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长
⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2?b2?c2 解：⑴AB?AC2?BC2?10 ⑵BC?AB2?AC2?8 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC+BC=AB, 即AC+9=15,所以AC=144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2222222CBDA 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC+CD=AD 设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x+1.5=（ x+0.5）解之得x=2. 故水深为2米.
题型四：利用勾股定理求线段长度——
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例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
详细解题过程如下：
解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm，
则DE=EF=CD－CE=8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得： AB2
+BF2
=AF2
，即82
+BF2
=102
， ∴BF=6cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得： EF2
=CE2
+CF2
，即(8－x) 2
=x2
+42
∴64－16x+x2
=2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积
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第十八章 勾股定理
一．基础知识点： 1：勾股定理的逆定理
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如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
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（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
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（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c （定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边） 2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 3：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 222 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形C的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． DB我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 二、经典例题精讲 题型一：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且AFB?1AB那么△DEF是直角三角形吗？为什么？ 41AB可以4解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB?设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。 4
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