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详细解题步骤如下：
解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a 在Rt△CDE中，DE=CD+CE=(4a)+(2 a)=20 a同理EF=5a, DF=25a
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在△DEF中，EF+ DE=5a+ 20a=25a=DF
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∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？
解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。
我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。
①如果MN=15,则AM+AN=MN,所以AD边与AB边垂直；
②如果MN=a≠15,则9+12=81+144=225, a≠225,即9+12≠ a，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯
5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。
题型三：旋转问题：
例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
若AP=3，求PP′的长。
变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.
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变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由.
题型四：关于翻折问题 例1、 如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，
BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰在CD边上的点G处，求BE的长.
222E为好落
变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
题型五：关于勾股定理在实际中的应用： 例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
题型六：关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
第 课时
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勾股定理练习
一．填空题：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”) 6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。
7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c2＝ ＋ ,化简后即为c2＝ ．
B
c a
b
A 第8题图
8． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的
最短路线的长是_____________。
二．选择题： 9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6 B.４ C. 64 D. 8
11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ ） Ａ． １３ Ｂ．
610 A 119 Ｃ．１３或119 Ｄ． 不能确定
12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ）
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A、①② B、①③ C、①④ D、②④ 13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A、40 B、80 C、40或360 D、80或360
16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
北
20m 30m A 东 150°
第16题图 南 第14题
三．解答题：
17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） （A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF
图1
18.(1)在数轴上作出表示
2 的 点.
2和
(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-
2 +1的点.
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。 20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，
求证：DE：DM：EM=3：4：5。
A
A′ O
B第20题图
B′ 8
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图5
22、如上右图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
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