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2011年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是
A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
2．复数
i?2? 1?2i4343?i D．??i 5555 A．i B．-i C．?
3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A．(1,?) B．(1,?) C． (1,0) D．(1，?) 22?
4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A．-3 B．-
11 C． D．2
32
5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
???6．根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f(x)?????cxcA,x?A,（A，C为
,x?A常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8 B．62
C．10 D．82
8．设A?0,0?,B?4,0?，C?t?4,4?,D?t,4??t?R?. 记N?t?为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整 点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点， 则函数N?t?的值域为
A．?9,10,11? B．?9,10,12? C．?9,11,12? D．?10,11,12?
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．在?ABC中。若b=5，?B?
10．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则k=_________________。
11．在等比数列{an}中，a1=
12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_________个。（用数字作答）
?4，tanA=2，则sinA=____________；a=______________。
1，a4=-4，则公比q=_____________；a1?a2?...?an?___________。 2?2x?2?,13．已知函数f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是____
?(x?1)3,x?2?
14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数a(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C过坐标原点；② 曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于
212a。其中，所有正确结论的序号是____________。 2三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数f(x)?4cosxsin(x??6)?1。
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：（Ⅱ）求f(x)在区间??????,?上的最大值和最小值。 ?64?
16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，
AB?2,?BAD?60.(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
17．（本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模
糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。 （注：方差s?
18．（本小题共13分）已知函数f(x)?(x?k)e。（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)≤
2xk2221?x1?x?x2?x??n?????2?xn?x?，其中x为x1，x2，…… xn的平均数）
????1，求k的取值范围。 ex219．（本小题共14分）椭圆G:?y2?1.过点（m,0）作圆x2?y2?1的切线I交椭圆G于A，B两点.
4（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.
20．（本小题共13分）若数列An?a1,a2,...,an(n?2)满足an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列An为E数列，记S(An)=a1?a2?...?an．（Ⅰ）写出一个满足a1?as?0，且S(As)〉0的E数列An； （Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S?An?=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。
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