讲 一次函数及其应用第11
1．一次函数的概念叫做正比例函数，kx即为kx＋by＝＝一般地，形如y＝kx＋b(k≠0) 的函数叫做一次函数，当b0时，y＝ 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 2．一次函数的图象与性质 kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，(1)一次函数y＝b的b) ＝kx(k≠0)的图象是过(0，y，0)，与y轴的交点坐标为原点，正比例函数－它与x轴的交点坐标为(k 一条直线． ＋b(k≠0)的图象所经过的象限及增减性．＝kx(2)一次函数yk、b的函数图象 图象的位置 增减性 符号0 k＞
图象过第一、y随x的增0 ＞b二、三象限 大而增大
1
0 b＝ 图象过 第一、三象限 的增xy随 大而增大 0 ＜b 图象过第一、 的增xy随 三、四象限 大而增大 ＜k0 函数图象 图象的位置 增减性 2
0 ＞b 图象过第一、的增xy随 二、四象限 大而减小 0 b＝ 图象过第二、 的增随yx 四象限 大而减小 b＜0 图象过 四三、第二、 象限 的增xy随 大而减小 待定系数法求一次函数解析式的一般步骤3. 3
＋b(k≠0); ＝kx(1)设：设出一次函数解析式一般形式y); (组kx＋b得到方程y(2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入＝ 的值；，)求出kb(3)求：解方程(组 写：写出一次函数的解析式．(4) 的关系．一次函数与方程(组)4 就是一个二元一次方程；kx＋by(1)一次函数的解析式＝__就是方程kx＋轴交点的kx＋b的图象与xb横坐标＝0的解； __一次函数(2)y＝y＝kx＋b??(3)一次函数y＝kx＋b与y＝kx＋b的图象交点的横、纵坐标值就是方程组的解． ?y
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＝kx＋b??5．一次函数与不等式的关系
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(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围
就是不等式kx＋b<0的解集，即函数图象位于x轴的下方部分对应点的横坐标的取值范围． 6．一次函数的实际应用
(1)常见类型：①费用问题；②销售问题；③行程问题；④容量问题； ⑤方案问题．
(2)解一次函数实际问题的一般步骤：
①设出实际问题中的变量； ②建立一次函数关系式； ③利用待定系数法求出一次函数关系式； ④确定自变量取值范围； ⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； ⑥答．
考点1： 一次函数的图象与性质
【例题1】（2018?江苏扬州?3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值． 【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1），
4
1，0），∴函数y=mx+m一定过点（﹣ 当x=0，时，y=m ，，m）∴点C的坐标为（0 ，﹣x+2y=由题意可得，直线AB的解析式为
，得 ABO分成面积相等的两部分，≠∵直线l：y=mx+m（m0）把△ ，
∴，
m=解得， ，∵m<2（舍去）5?132． 故答案为：
考点2： 一次函数与方程、不等式的关系
1【例题2】．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋5的图象l分别与x，2y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l与l交于点C(m，4)． (1)求m的值及l
1
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的解析式； (2)求S－S的值；
2
BOC△△AOC
(3)一次函数y＝kx＋1的图象为l，且l，l，l不能围成三
角形，直接写出k的值．
3231
5
11【解析】：(1)把C(m，4)代入一次函数y＝－x＋5，可得4＝－m＋5， C(2，4)．
设l的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2. ∴l的解析式为y＝2x.
2
2
22解得m＝2，∴
(2)过点C作CD⊥AO于点D，CE⊥BO于点E，则CD＝4，CE＝2，
1∵y＝－x＋5的图象与x轴、y轴交于A，B两点，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝10， 2∴A(10，0)，B(0，5)． ∴AO＝10，BO＝5.
11∴S－S＝×10×4－×5×2＝15.
2231(3)k的值为或2或－.
BOC△AOC△
22考点3： 一次函数的实际应用
【例题3】（2019?四川省广安市?8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
3x?5y?50x?5??，解得，， ??2x?3y?31y?7??答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯
的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元， w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400， ∵a≤3（200﹣a）， ∴a≤150，
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