2017 全国研究生入学考试考研数学一真题解析
本试卷满分 150，考试时间 180 分钟
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（1） 若函数 f (x) ????
（A） ab ??
1
2
?1? cos x x ? 0 处连续，则（ ）
, x ? 0 ，在
? ax ?b, x ? 0 ?
1 （B） ab ?? （C） ab ? 0 （D） ab ? 2 2
【答案】（A）
【 解析 】由连续的定义可知：
lim f (x) ? lim f (x) ? f (0) ， 其中 f (0 )??l i mf x(?) ，
x?0??
x?0??
x?0??
1 21 1 (x ) 1
ab ? ，故选（A）? ，从而b ? ，也即 。 lim f (x) ? lim 1? cos x ? lim 2
?
x?0?x?0x?0 ax 2a 2a 2 ax
????
（2） 若函数 f (x) 可导，且 f (x) f ?(x) ? 0，则（ ）
（A） f (1) ? f (?1) （C） f (1) ??f (?1) 【答案】（C）
（B） f (1) ? f (?1) （D） f (1) ??f (?1)
【解析】令 F(x) ? f 2 (x) ，则有 F?(x) ? 2 f (x) f ?(x) ，故 F (x) 单调递增，则 F(1) ? F(?1) ，即
[ f (1)]2 ?[ f (?1)]2 ，即 f (1) ??f (?1) ，故选 C。
（3）函数 f (x, y, z) ? x2 y ? z2 在点(1, 2, 0) 处沿向量n ? (1,2,2)的方向导数为（ ） （A）12 （B） 6 【答案】（D）
?
（C） 4 （D） 2
d f ?{ 4 , 1 ， 则 【 解 析 】 gradf ?{2xy, x2, 2z} ， 将 点 (1, 2, 0) 代 入 得 g r a ( 1 , 2 , 0 )
?f
? gradf . u ???u
（4）
u
?1 2 ?2?
。{ 4 , 1. ??3 0 } 3 ?3 ? ,
甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v ? v1(t)
（单位：m/s），虚线表示乙的速度v ? v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为10、20、3 ，计时开始
1
后乙追上甲的时刻记为t0 （单位：s），则（ ）
（A） t0 ? 10 【答案】（C）
（B）15 ? t0 ? 20 （C） t0 ? 25 （D） t0 ? 25
【解析】从 0 到 t 时刻， 甲乙的位移分别为
t0
0
0
t [V (t) ?V (t)]dt ，由定积分的几何意义可知， [V (t) ?V (t)]dt ? 20 ?10 ? 10 ，可知t ? 25
2
1
250
?V (t)dt 与 t V (t)dt 要使乙追上甲， 则有
1
0
?0
2
?0
?T 0
2 1 0
，故选（C）。
（5） 设? 是 n 维单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则 （A） E ???不可逆 （B） E ???不可逆
T
（C） E ? 2??不可逆 T （D） E ? 2??不可逆
T 【答案】（A）
T 【解析】因为?? 的特征值为0 （ n ?1重）和1，所以 E ???T 的特征值为1（ n ?1重）和0 ，故
E ???T 不可逆。
?
?
?
?
?2 1 0???1 0 0???2 0 0??
?? ?? （6）设矩阵 A ? 0 2 1， B ? 0 2 0， C ? ?0 2 0? ，则 ? ??? ??? ??????0 0 1????0 0 1????0 0 2???
（A） A 与C 相似， B 与C 相似
（C） A 与C 不相似， B 与C 相似
（B） A 与C 相似， B 与C 不相似
（D） A 与C 不相似， B 与C 不相似
【答案】（B）
【解析】由（?E ? A）=0 可知 A 的特征值为 2,2,1。
可相似对角化，且A 3 ? r(2E ? A) ? 1。? A ??? 1 0 0
?? ?00 2 ??????? 0 2 0????
由 ?E ? B ? 0 可知 B 的特征值为 2,2,1。
3 ? r(2E ? B ) ??2 。?B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
? A
C 。且 B 不相似于 C。
（7） 设 A, B 为随机事件，若0 ? P(A) ? 1， 0 ? P(B) ? 1，则 P( A B) ? P( A B) 的充要条件是
（A） P(B A) ? P(B A)
（B） P(B A) ? P(B A)
2
（C） P(B A) ? P(B A)
（D） P(B A) ? P(B A)
【答案】（A）
【解析】因为 P A B? P( A B) ，所以
?
?
P( AB) P( AB) P( A) ? P( AB)
? ? ，从而
P(B) 1? P(B) P(B)
P( AB) P(B) ? P( AB) , P(B A) ? P(AB) ? P(A)P(B)，且 P ?B A? ? ，所以
P( A) 1? P( A) P ?B A? ? P(B A) 。
（8） 设 X1, X2
不正确的是
1 n
? 的简单随机样本，记 X ? ??Xi ，则下列结论中 Xn (n ? 2) 为来自总体 N ( ,1)
n i?1
? 2 分布 （A） ( Xi ? ?)服从
n
?i?1 n
2
2
服从 ? 2 分布?（B） 2( X n ? X 1)
? 2 分布 （C） ( Xi ? X )服从
?i?1
2
（D） n( X ? ?)2 服从 ? 2 分布
【答案】（B）
【解析】（A） Xi ? ??N(0,1) 故?( Xi ? ?)
2
i?1
n ?
? 2 (n) ；
（B） Xn ? X1
X? XN (0, 2) ? n 1 2
N (0,1)
? x ? x ? ? ? n 1 ??? 2 ??
即 n
2
? 2 (1)
(x ? x )2
1
2
2 ? 2 (1) 。
? (n ?1) 。
2
n
2 2 2 1 n （C） 由 S ? ( Xi ? X ) , (n ?1)S ? ?( Xi ? X )
n ?1 ?i?1 i?1
（D） ( X ? ?) N 0,
? 1 ?
，则 n( X ? ?) N(0,1) ，所以n(X ? ?)2 ? 2 (1) 。 ? n ??? ??
二、填空题：9?14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
3
（9） 已知函数 f (x) ??
1
，则 f (3) (0) ? 21 ? x
。
【答案】0 【解析】因为
f (x) ? 1 ? 1? x2 ? x4 ? x6 ?
1? x2
? ?(?x ) ? ?(?1) x2n
2
n?0
n?0
?
n
?
n
?
n
f ???(x) ? ?(?1) 2n(2n ?1)(2n ? 2)x2n?3
n?0
将 x ? 0 带入 f ???(0) ? 0
（10） 微分方程 y ? ? 2y? ? 3y ? 0 的通解为 y ???。
【答案】e?x (c 1 cos 【解析】
2x ? c2 sin 2x)
?
2 因为 y ? ? 2y? ? 3y ? 0 ，所以?? 2? ? 3 ? 0 ，? ? ??2i ?1，通解为e?x (c 1 cos 2x ? c 1 sin 2x)
（11） 若曲线积分
【答案】?1 【解析】
? x ? y ?1
L 2 2
xdx ? aydy 在区域 D ? {(x, y) x2 ? y2 ? 1}内与路径无关，则a ? __ 。
x
P(x, y) ?
?ay
, Q(x, y) ?
x? y?1
2
2
x? y?1
2 2
， ?P ??P ??2xy 2axy
?22, ??y (x ? y ?1)2 ?x (x2 ? y2 ?1)2
?P ?P
? ? 0 ，则2a ? ?2, a ? ?1 ?y ?x
（12）幂级数
?(?1)
n?1
2
??
n?1
S(x) ???。 nxn?1 在区间(?1,1) 内的和函数
【答案】 1
(1 ? x)
。
4
??
n?1
n?1
【解析】
?(?1)
n?1
nx
??1 x ??? ?n?1 n ?
? 。? ?(?1) x ??? ??2
?1 ? x ? (1 ? x) ? n?1 ?? ???
?1 0 1???（13）设矩阵 A ? 1 1 2? ，? ,??,? 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 A? , A??, A? 的
1 2 3 ? ??1 2 3
??0 1 1???
秩为
。
【答案】2 。
【解析】因为(A?1, A?2 , A?3 ) ? A(?1,?2 ,?3 ) ，
?1 0 1? ?1 0 1? ?1 0 1??
A ? ?1 1 2? ? ?0 1 1? ? ?0 1 1??
? ? ? ? ? ????0 1 1?? ??0 1 1?? ??0 0 0???
故 r( A) ? 2 ，所以( A?1, A?2 , A?3 ) 秩为2 。
x ? 4
（14）设随机变量 X 的分布函数为 F (x) ? 0.5?(x) ? 0.5?( ) ，其中?(x) 为标准正态分布函
2
数，则 EX ???。 【答案】2
【解析】
?
1 1 ? ?? f (x) ? F (x) ? 0.5 e ? 0.5 e 2??2? ( x?4) ?1 ? x22? 1 ??0.5 e ? 0.5 e 2?2
2? ? 2 2?? x2 ??2 ? x?4 ?2 ? 2 ??2 ??1 ??2
2
2
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10 分)设函数 f (u, v) 具有2 阶连续偏导数，y ? f (e , cos x) ，求 【解析】由复合函数求导法则，可得：
x
dy dx
x?0 ， d 2 y dx
2x?0 。
dy ?x
?f ??1 e ? f 2 (?sin x) dx
dy ? f ?(1,1) x?0 1
故 dx
进一步地：
5
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