d 2 y
d ( f ?) ?d ( f ?)
? ? sin x 2 ? x?? x 1 ??
cos xf2 dx2 e f1 e dx dx
?xf ?ex ? f ? ? ? sin x21 ? sin x) ? ex f ( f ?ex ?22 f 1 ? e ( 11 12 sin x) ? cos xf 2 ?? 2x f ? ? 2ex sin 21 ?? ex f xf ? ? sin2 22xf 1 ? cos xf 2 ? e11 ?
?
d 2 y 故 2x?0 ??f1?(1,1) ??f2?(1,1) ??f11?(1,1) dx
(16) (本题满分 10 分)求lim
k
ln(1? ) 。 2 n?? n k ?1 n ? n
k
1 k ?k ?
lim ?ln ?1? ??1 x ln ?1? x? dx ， 再 由 分 部 积 分 法 可 知 ： 原 式 =
n?? n n ?n ? ?0
? ??k ?1
?1 1 x2 ?1 x2 ?1 1 1 1 2
d ln ?1? x??ln ?1? x? |0 ?? ? x? dx ? ?0 ln ?1? x? d ?x ?1? ???1?0 x ln 02 1 1 12 1 2 12
? ? ? x ?1? dx ? ? ? x ?1?| ?
【解析】由定积分的定义式可知 n
2 ?0
4
0
4
(17) (本题满分 10 分)已知函数 y(x) 由方程 x3 ? y3 ? 3x ? 3y ? 2 ? 0 确定，求 y(x) 的极值。 【解析】等式两边同时对 x 求导可得，
3x2 ? 3y2 y? ? 3 ? 3y? ? 0 ……(1)
令 y? ? 0 可得3x2 ? 3 ? 0 ，故 x ? ?1。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在 x ? ?1 与
x ? 1处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，
6x ? 6 y ? y??? 3y2 y ? ? 3y ? ? 0 ……(2)
2
当 x ? 1时， y ? 1，将 x ? 1, y ?1, y ??0 代入（2）式可得 y?? ? ?2 ，故 y ?1? ? 1是函数的极大值。
当 x ? ?1时， y ? 0, y? ? 0 ，代入（2）式可得 y?? ? 2 ，故 y ??1? ? 0 是函数的极小值。
(18) (本题满分 11 分)设函数 f (x) 在区间[0,1] 上具有二阶导数，且 f (1) ? 0 ， lim
x?0??
f (x)
? 0 。x
证明：（Ⅰ）方程 f (x) ? 0 在区间(0,1) 内至少存在一个实根。
6
（Ⅱ）方程 f (x) f ?(x) ? ? f ?(x)?? 0 在区间(0,1) 内至少存在两个不同实根。
2
f (x) f (x)
? 0 ，则由保号性可知： ?? ? 0 ，使得当 x ?(0,? ) 时， ? 0 ， 【证明】 （I）由于 lim ?x?0?x x
也即 f (x) ? 0 。
又由于 f (1) ? 0 ，则由零点存在定理可知， f (x) ? 0 在(0,1) 内至少有一个实根。
（II）令 F(x) ? f (x) f ?(x)。由 lim
x?0?
f (x) x ? 0 可知 f (0) ??lim
f (x)
? x ??0 。
x?0??x
又由（I）可知： ?x0 ?(0,1) 使得 f (x0 ) ? 0 。
由罗尔定理可知： ??1 ?(0, x0 ) 使 f ?(?1) ? 0 ，从而 F(0) ? F(?1) ? F(x0 ) ? 0 。再由罗尔定理可知： ??2 ?(0,?1)， ?3 ?(?1, x0 ) 使得 F?(?2 ) ? F?(?3) ? 0 。 也即 F?(x) ? f (x) f ?(x) ?[ f ?(x)]2 ? 0 在(0, x 0 ) ? (0,1) 内有两个不同的实根。
z ? x2 ? y2 被柱面 (19)（本题满分 10 分）设薄片型物体 S 是圆锥面 z2 ? 2x 割下的有限部分，其
上任一点的密度为 ? ? 9 x2 ? y2 ? z2 ，记圆锥面与柱面的交线为C 。
（I） 求C 在 xOy 面上的投影曲线的方程； （II） 求 S 的质量 M 。
??2?z ??x2 ?z x2 ? y2 ? 2x y 【解析】（Ⅰ） 的方程为??，从中消去 可得
2
???z ? 2x
C
?x2 ? y2 ? 2x
。 则C 在 xoy 平面上的投影为??
??z ? 0
（Ⅱ） S 的质量m ?
x2 ? y2 ? z2 dS ?(x, y, z)dS ? 9 ?? ??
S
S
2 ?2??? ??z ?z ? ? 22将 z ??x ? y 带入可得： dS ??1? ??? ? ? ??dxdy ??2dxdy
? ?x ? ? ?y ?? D
2222
故 m ? 9 2 x ? y 2dxdy ，其中 D 为平面区域{(x, y) | x ? y ? 2x}
??
利用极坐标计算该二重积分可得：
7
22m ? 18???x ? y dxdy D
? 18?? r 2drd??D
????? 18 ????d
2 ??2
??2cos??0
r 2dr
144 2 3
cos ?d??? ??? ??3 2 ? 64
??(20)（本题满分 11 分） 设 3 阶矩阵 A=（? ，? ，? ）有 3 个不同的特征值，且? =? +2? 。
1 2 3 3 1 2
1) 证明： r(A) ??2
2) 若 ? =? +? +??3 ，求方程组 Ax = ? 的通解。 1 2
（）I
【证明】因为 A 有三个不同的特征值，所以 A ?? ，r( A) ? 1，假若r( A) ? 1时，0 是二重的，故不符合，那么r( A) ? 2 ，又因为?3 ? ?1 ? 2?2 ，所以r( A) ? 2 ，即r( A) ? 2 。
（）I
【解析】因为r( A) ? 2 ，所以 Ax ? 0 的基础解系只有一个解向量，又因为?3 ? ?1 ? 2?2 ，即
2 3 1 2 3
? ? 2? ?? ? 0 ，即基础解系的解向量为(1, 2,?1)T ，又因为 ? ? ? ? ? ? ? ，故 Ax ? ? 的特
1
解为(1,1,1)T ，所以 Ax ? ? 的通解为k(1, 2, ?1)T ? (1,1,1)T ， k ? R 。
(21)（本题满分 11 分）设二次型 f(x , x , x ) = 2x2 - x2 + ax2 ? 2x x ? 8x x ? 2x x ，在正交变
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
换 x ? Qy 下的标准型为? y ? ? y ，求 a 的值及一个正交矩阵Q 。
2
21 1 2 2
? 2 1 ?4 ?? ??【解析】二次型对应的矩阵为 A ? 1 ?1 1 ，因为标准型为? y 2 ? ? y 2 ，所以 A ? 0 ，从
1 1 2 2 ? ? ?4 1 a ?? ??
? ? 2
而 a ? 4 ? 6 ，即a ? 2 ，代入得 ?E ? A ? ?1
?1 4
?1 ? 0 ，解得? ? 0, ?3, 6 ；
? ? 2 ? ?1
?1
4
8
? ?2 ?1 4 ???? ?1 1 ?1??? ??
当? ? 0 时， 0E ? A ? ?1 1 ?1，化简得0 ?1 2 ，对应的特征向量为k (1, 2,1)T ；
1 ??? 4 ?1 ?2 ??? ? 0 0 0 ?? ?
? ? ? ???5?1 4 ???? ?1 ?2 ?1??? ? ??
当? ? ?3时，?3E ? A ? ?1 ?2 ?1，化简得0 1 1 ，对应的特征向量为k (1, ?1,1)T ；
2 ?? ?? ? 4 ?1 ?5 ?? 0 0 0 ???
? ? ? ??? 4 ?1 4 ???? ?1 7 ?1??? ??
当? ? 6 时， 6E ? A ? ?1 7 ?1，化简得0 1 0 ，对应的特征向量为k (?1, 0,1)T ；
3 ??? 4 ?1 4 ?? ? 0 0 0 ?? ?
? ? ? ??
?
?? 3 ??2 3 2 ? ?
3
0 从而正交矩阵Q ? ? ??
??3 ? 3 2 ? 3 2 ?
?
??6 ?6 ?????6 ? 。 3 ??6 ??6 ????
(22) （ 本 题 满 分 11 分） 设 随 机 变 量 为 X ， Y 相 互 独 立 ， 且 X 的 概 率 分 布 为
1P(X ? 0) ? P(X ? 2) ? ,Y 的概率密度为
2
1） 求P(Y ? EY ) ;
2） 求Z ? X ? Y 的概率密度。
?2 y, 0 ? y ? 1,
f ( y) ?
?? ?0, 其他,
2 2yf ( y)dy ? 2 ydy ? 。 ???? 0 3 24 ? 2 ? 2 3
则 P{Y ? EY} ? P ?Y ??? ? 3 f ( y)dy ? ? 2 ydy ? 。
? 0 9 ? 3 ? ??
【解析】（Ⅰ）由数字特征的计算公式可知： EY ?
??
1
（Ⅱ）Z 的分布函数记为 F(z) ,那么 z
Fz (Z) ? P?Z ? z??
? P?X ? Y ? z??
? P?X ? 0?P?X ? Y ? z X ? 0?? P?X ? 2?P?X ? Y ? z X ? 2??
9
?
?
?
?
? P?Y ? z?? P?Y ? z ? 2? 2 2
1 1 ；
当 z＜0 时， F (z) ? 0
z
当0 ? z＜1时，
Fz (z)
当1 ? z＜2 时， 当2 ? z＜3时， 1 ?
? ? ??
z2 ；2
P Y z 2
1 ；
F (z) ? z 2
；1 1 1 1 2F (z) ? ? P?Y ? z - 2?? ? z - 2
（ ） z 2 2 2 2
当3 ? z 时， F (z) ? 1；
z
所以，Z 的概率密度为
?z,0＜z＜1 ?
F (z) ? z ? 2,2＜z＜3
??z
?0, 其他 ??
(23)（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该
物体的质量 ? 是已知的， 设 n 次测量结果 X ，X ，...,X 相互独立且均服从正态分布
1 2 n N（?，? 2）。该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差Z ? X ? ? (i ? 1,2,? ? ?,n) ， 利 用
i i Z , Z ,… Z 2 n 估计? 。 1
1） 求Zi 的概率密度；
2） 利用一阶矩阵求? 的矩估计量。 3） 求? 的最大似然估计量。
【 解析 】（ I ）因为 Xi ~ N (? ?, 2 ，所以 Yi ? Xi ? ? ~ N ( 0?, 2 ， 对 应 的 概 率 密 度 为
?
1 2 z ? 的分布函数为 F ? ，对应的概率密度为 f (z)； fY ? y ? ?? e 2? ，设 Z i
2?????y
2
10
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