全国名校高考数学经典复习优秀学案汇编(附详解)专题
2x－（2x＋1）ln（2x＋1）＝.
（2x＋1）x2考点二 导数的几何意义及其应用 【例2】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点
22
P(x0，x30－4x0＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x0－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
2又切线过点P(x0，x30－4x0＋5x0－4)， 22∴x30－4x0＋5x0－2＝(3x0－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． ln x－2x【训练2】 (1)(优质试题·云南统一检测)函数f(x)＝－2)处的切
x在点(1，线方程为( )
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
(2)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( ) A．y＝3x＋1 B．y＝－3x C．y＝－3x＋1 D．y＝3x－3
1－ln x
解析 (1)f′(x)＝x2，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为
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y－(－2)＝x－1， 即x－y－3＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)， 又f′(x)为偶函数，则a＝0，
所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，故f′(0)＝－3， 故所求的切线方程为y＝－3x. 答案 (1)C (2)B
考点三 导数几何意义的综合应用
【例3】 (优质试题·北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围； (3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
22解 (1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
??2?2?
因为f(－2)＝－10，f?－?＝2，f??＝－2，
?2??2?f(1)＝－1，
?2?
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f?－?＝2.
?2?
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x30－3x0，且
2切线斜率为k＝6x20－3，所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)(x－x0)，因此t－y0＝2(6x2(1－x0)．整理得4x30－3)·0－6x0＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”． g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
于是，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x g′(x) g(x) (－∞，0) ＋ ↗ 0 0 t＋3 (0，1) － ↘ 1 0 t＋1 (1，＋∞) ＋ ↗ 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值；g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
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当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切． 规律方法 解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可．
【训练3】 设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a，b之间的关系； (2)求ab的最大值．
解 (1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切
2线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x0－2(a＋2)x0＋2a－1＝0.① 2
?y0＝x0－2x0＋2，2
又点(x0，y0)在C1与C2上，故有??2x0－(a＋2)x0＋2－b＝0.② 2
y＝－x＋ax＋b?000
5
由①②消去x0，可得a＋b＝2.
5?22555?5??
(2)由(1)知：b＝2－a，∴ab＝a?2－a?＝－?a－4?＋16.∴当a＝4时，(ab)最大值
????25
＝16.
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[思想方法]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导． [易错防范]
1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln x混淆．
2．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点．
3．曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y＝0是曲线y＝x3在点(0，0)处的切线．
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(优质试题·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线 ( ) A．不存在
B．有1条，其方程为y＝0 C．有1条，其方程为x＝0
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