全国名校高考数学经典复习优秀学案汇编(附详解)专题
D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0
解析 ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0. 答案 B
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( ) A．4x－y－3＝0 C．4x－y＋3＝0
B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析 切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，
即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0. 答案 A
3．(优质试题·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 ( ) 1A.3
1
B.2
2
C.3
D．1
解析 y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程?22?为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，?3，3?，
??
121
故围成的三角形的面积为2×1×3＝3. 答案 A
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于 A．－sin x－cos x C．－sin x＋cos x
( )
B．sin x－cos x D．sin x＋cos x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A. 答案 A
5．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )
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11
A．y＝2x3－2x2－x 1
C．y＝4x3－x
11
B．y＝2x3＋2x2－3x 11
D．y＝4x3＋2x2－2x
解析 设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0，0)处的切线，则y′|x＝0＝－1?c＝－1，排除B，D.又∵y＝3x－6是该函数在点(2，0)处的切线，则y′|x
＝2
＝3?12a＋4b＋c＝3?12a＋4b－1＝3?3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故
选A. 答案 A 二、填空题
?π??π?
6．已知函数f(x)＝f ′??cos x＋sin x，则f ??的值为________．
?4??4?
ππ?π??π??π?
解析 ∵f′(x)＝－f′??sin x＋cos x，∴f′??＝－f ′??sin 4＋cos 4，
?4??4??4?
ππ?π??π?∴f′??＝2－1，∴f ??＝(2－1)cos 4＋sin 4＝1.
?4??4?答案 1
b
7．(优质试题·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋x(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
bb7
解析 y＝ax2＋x的导数为y′＝2ax－x2，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－2.由题
b4a＋??2＝－5，?a＝－1，意得?解得?则a＋b＝－3.
b7?b＝－2，4a－＝－，??42答案 －3
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1
8．(优质试题·开封调研)若函数f(x)＝2x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
11解析 ∵f(x)＝2x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋x.
1
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋x－a＝0有解， 1
∴a＝x＋x≥2(x＞0)． 答案 [2，＋∞) 三、解答题
9．求下列函数的导数： (1)y＝xnlg x； π?
(2)y＝sin?2x＋?；
3??
2?
(3)y＝log3(2x＋1)．
1
解 (1)y′＝nxn－1lg x＋xn·xln 10 1?＝x?nlg x＋ln 10?.
??
π?1?2π????
(2)∵y＝sin2?2x＋?＝2?1－cos?4x＋??，
3??3????2π??1??
∴y′＝－2?cos?4x＋??′
3????
2π???2π?1??
??·?4x＋?′ ＝－2·?－sin?4x＋
3???3???
2π??
＝2sin?4x＋?.
3??
1
(3)y′＝·(2x＋1)′
（2x＋1）ln 32
＝. （2x＋1）·ln 3
134
10．已知曲线y＝3x＋3. n－1?
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
14
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝3x3＋3上，且y′＝x2， ∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
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∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 134?134?x，(2)设曲线y＝3x＋3与过点P(2，4)的切线相切于点A?03x0＋3?，则切线的??斜率为y′|x＝x0＝x20.
4?2234?12
∴切线方程为y－?3x30＋?＝x0(x－x0)，即y＝x0·x－x0＋.∵点P(2，4)在切3?33?
23432322
线上，∴4＝2x20－x0＋，即x0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0， 33
2∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1，或x0
＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．已知曲线y＝
1
，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 ( ) ex＋1
B．x－4y＋2＝0 D．4x－2y－1＝0
1ex×ex＝2(当
A．x＋4y－2＝0 C．4x＋2y－1＝0 －ex
解析 y′＝x＝
（e＋1）2x
－11xx
，因为e＞0，所以e＋1ex≥2x
e＋ex＋2
11x
且仅当e＝ex，即x＝0时取等号)，则e＋ex＋2≥4，故y′＝
－11
≤－4当1x
e＋ex＋2
(x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标1?11?0，??为2?，切线的方程为y－2＝－4(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A. ?答案 A
12．(优质试题·开封二模)过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有 ( ) A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x30－3x0)，那么切线的斜率为
32k＝3x2利用点斜式方程可知切线方程为y－(x0－3x0)＝(3x0－3)(x－x0)，将0－3，232点A(2，1)代入可得关于x0的一元三次方程2x30－6x0＋7＝0.令y＝2x0－6x0＋7，
则y′＝6x20－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝2时，y
232＝－1＜0.结合函数y＝2x30－6x0＋7的单调性可得方程2x0－6x0＋7＝0有3个
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