www.shuxue.com.cn 站长：邓成湘
课 题：7.6圆的方程（二）
教学目的：
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径； 3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；
4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索 王新敞教学重点：圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的形式特征 王新敞教学难点：对圆的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0的认识 直线与圆的位
王新敞置关系（尤其是圆的切线） 授课类型：新授课 王新敞王新敞课时安排：1课时 王新敞教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
王新敞遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线） 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的
王新敞王新敞理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：
王新敞圆心坐标和半径 本节为第二课时讲解圆的一般方程 教学过程：
王新敞王新敞一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
王新敞2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程) 王新敞（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)?0; （4）化方程f(x,y)?0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,
王新敞如有特殊情况，可以适当予以说明)
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程 王新敞王新敞数学学科网提供数学所有资料免费下载，欢迎登陆。
www.shuxue.com.cn 站长：邓成湘
4. 圆的标准方程 ：(x?a)2?(y?b)2?r2圆心为C(a,b)，半径为r，
若圆心在坐标原点上，这时a?b?0，则圆的方程就是x2?y2?r2 王新敞5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 王新敞y圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就
OrC(a,b)Mx给定了 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条
王新敞件 确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决
王新敞王新敞二、讲解新课：
圆的一般方程： 将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2的展开式为：
x?y?2ax?2by?(a?b?r)?0 22222王新敞取D??2a,E??2b,F?a2?b2?r2得
x?y?Dx?Ey?F?0 ①
22再将上方程配方，得 (x?D2)?(y?2E2)?2D?E422?4F ②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当D?E?4F?0时，表示以（-为半径的圆；
22（2）当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??22D2，-
E2）为圆心,
12D2?E2?4FD2，y??E2，即
只表示一个点（-2D2，-2E2）;
（3）当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞综上所述，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆
22王新敞数学学科网提供数学所有资料免费下载，欢迎登陆。
www.shuxue.com.cn 站长：邓成湘
只有当D2?E2?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如
x?y?Dx?Ey?F?0的表示圆的方程称为圆的一般方程
22王新敞圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）x2和y2的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项 王新敞但要注意：以上两点是二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的必要条件，但不是充分条 王新敞看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D,E,F就可以了 王新敞三、讲解范例：
例1求过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确
王新敞定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x2?y2?Dx?Ey?F?0
∵O(0,0),M(1,1),N(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，
?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0
王新敞∴所求圆的方程为：x?y?8x?6y?0 22王新敞r?12D2?E2?4F?5；?D2?4,?F2??3王新敞 得圆心坐标为（4，-3）.
数学学科网提供数学所有资料免费下载，欢迎登陆。
www.shuxue.com.cn 站长：邓成湘
或将x2?y2?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，
22(x?4)?(y?3)?25,从而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3)
王新敞例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线 12的点的
王新敞分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出 王新敞解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是点
OMAMx2M(x,y)属于集合P?{M|22?12} 王新敞y即
x?y2(x?3)?y2?12,
?y222(x?3)?y?14M
OA(3,0)x整理得：x2?y2?2x?3?0
所求曲线方程即为：x2?y2?2x?3?0 王新敞将其左边配方，得(x?1)2?y2?4 王新敞∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示 王新敞例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x?y?4x?3?0和
x?y?4y?3?0的交点的圆的方程
2222王新敞解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为
x2?y2?4x?3??(x2,2?y2?4y?3)?0(???1)
则其圆心坐标为(2?1??1??) 王新敞∵所求圆的圆心在直线x?y?4?0上， ∴
21???2?1???4?0,???221王新敞3 ∴所求圆的方程为x?y?6x?2y?3?0
王新敞数学学科网提供数学所有资料免费下载，欢迎登陆。
相关推荐：
loading