线段和差最值的存在性问题解题策略
专题攻略
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．
三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
例题解析
例? 如图1-1，抛物线y＝x－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
2
图1-1
【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋
PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最
小．
由y＝x－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．
2
图1-2 图1-3
例?如图，抛物线y?12x?4x?4与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过2x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程．
图2-1
【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点
B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．
在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比
848可以计算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)．
333
图2-2
48例? 如图3-1，抛物线y??x2?x?2与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求
93线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．
图3-1
【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)．
绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方
4141．此时P(,0)． 66在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延
3长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P(?,0)．
2程x＋2＝(x－3)＋6，得x?2
2
2
2
图3-2 图3-3
例? 如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．
图4-1
【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形
ABCD的高，Q′H＝3．
这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．
图4-2 图4-3 图4-4
例? 如图5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
图5-1
【解析】E、F、P三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2是确定的，那么我们可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如图5-2）．
如图5-3，PB＋PA的最小值为AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．
图5-2 图5-3
例? 如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由．
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