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专升本高等数学测试题
1.函数y?1?sinx是（ D ）．
（A） 奇函数； （B） 偶函数； （C） 单调增加函数； （D） 有界函数．
解析 因为?1?sinx?1，即0?1?sinx?2, 所以函数y?1?sinx为有界函数． 2.若f(u)可导，且y?f(ex)，则有（ B ）；
（A）dy?f'(ex)dx； （B）dy?f'(ex)exdx； （C）dy?f(ex)exdx； （D）dy?[f(ex)]'exdx．
解析 y?f(ex)可以看作由y?f(u)和u?ex复合而成的复合函数 由复合函数求导法 y??f?(u)?ex??f?(u)?ex， 所以 dy?y??dx?f'(ex)exdx．
?3.?0e?xdx=( B );
(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0. 解析
?????0edx??e?x?x??0?0?1?1．
4.y???2y??y?(x?1)ex的特解形式可设为（ A ）；
(A)x2(ax?b)ex ； (B) (C)
(ax?b)ex；
x(ax?b)ex； (ax?b)x2．
(D)
解析 特征方程为r2?2r?1?0，特征根为 r1=r2=1．?=1是特征方程的特征重根，于是有yp?x2(ax?b)ex． 5.??Dx2?y2dxdy?( C )，其中D：1≤x2?y2≤4；
(A) (C)
??2π02π0d??r2dr；
14 (B) (D)
?2π0d??rdr；
14d??rdr；
212?2π0d??rdr．
12解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式． 当?故??D?x?rcos?时，dxdy?rdrd?，由于1≤x2?y2≤4，D表示为 1?r?2，0???2π，
?y?rsin?x2?y2dxdy???r?rdrd??D?2π0d??r2dr．
12 6.函数y=
x?arcsin(?1)的定义域
23?x21
解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；
反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组
的解.即 即
???????3?x?0,3?x?0,x?1?1,22
??3?x?3,推得?
?0?x?4,[0,3).
0?x?3, 因此，所给函数的定义域为
7. 求极限limx?22?x?2 = 2?x(2?x?2)(2?x?2)解：原式=lim x?2(2?x)(2?x?2)1 =lim x?22?x?21=. （恒等变换之后“能代就代”） 4x1
?8.求极限limx?1x1sinπtdt1?cosπx0解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
0=
? limx?1sinπtdt1?cosπx=limx?1(?sinπtdt)?1x(1?cosπx)?=limx?1sinπx11?lim()?? x?1?π?πsinπxπ
9.曲线??x?t,在点（1，1）处切线的斜率 3?y?t,?1?t,?t?1, ?3?1?t,dy? dxt?1
解：由题意知：
(t3)??(t)?t?1?3t2t?1?3,
3
10. 方程y''?2y'?y?0, 的通解为 解： 特征方程r2?2r?1?0, 特征根r1?r2?1, 通解为y?(C1?C2x)ex. 11. 交错级数?(?1)n?1n?1??曲线在点（1，1）处切线的斜率为
1的敛散性为 n(n?1)
（4） ??(?1)n?1?n?11n(n?1)=?1,
n?1n(n?1)?而级数?12.lim(1?x??1收敛，故原级数绝对收敛.
n?1n(n?1)?
1x). x2（第二个重要极限）
xxx11(?x2)(?x)[(1?2)]=e0?1． 解二 原式=limx??x1113.lim[?2ln(1?x)] x?0xx1111解一 原式=lim(1?)x(1?)x?lim(1?)x?lim[(1?)?x]?1=ee?1?1， x??x?0x??x解 所求极限为???型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或?型.
?00
11x?ln(1?x) lim[?2ln(1?x)]?lim?limx?0xx?0x?0xx21?x?111?lim?. ?limx?02x(1?x)x?02(1?x)2xx1?11?x2x14.设f(x)?xe，求f'(x).
解：令y?xe, 两边取对数得：lny?exlnx, 两边关于x求导数得：
1exx?y'?e?lnx?yxx
即
exy'?y(elnx?)
xexexxy'?x(elnx?).
x15.求f(x)?x3+3x2在闭区间??5,5?上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：f?(x)?3x2?6x, 令f?(x)?0, 得x1?0,x2??2,
f??(x)?6x?6, f??(0)?6?0, f??(?2)??6?0,
∴f(x)的极大值为f(?2)?4，极小值为f(0)?0. ∵f(?5)??50, f(5)?200.
∴ 比较f(?5),f(?2),f(0),f(5)的大小可知： f(x)最大值为200， 最小值为?50. 16.求不定积分?解： 令原式=?11?1?xdx.
1?x?t,
则
x?t2?1 , dx?2tdt,于是
2tt?1?1dtdt=2?dt=2[?dt??]=2t?2ln1?t?C 1?t1?t1?t=21?x?2ln1?1?x?C.
417.求定积分?01?xdx .
1?x解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限． 令 t?x ，x?t2 ，dx?2tdt ， 当x?0时，t?0，当x?4时，t?2，于是
?1?041?xxdx=?21?t42tdt=?[4?2t?]dt 01?t01?t22?4t?t?4ln1?t?4?4ln3.0
?2?
ex(ey?1)dx??ey(ex?1)dy，
18. 求方程
(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0的通解；
解 整理得
用分离变量法，得 两边求不定积分，得
eyexdy??xdx， ey?1e?1ln(ey?1)??ln(ex?1)?lnC，
于是所求方程的通解为 ey?1?即
19.u?exsinxy, 求解：因
?u?x,(0,1)C， xe?1
ey?C?1． xe?1?u?y.
(1,0)?u?exsinxy?excosxy?y?ex(sinxy?ycosxy), ?x?u?excosxy?x, ?y?u??e0(sin0?cos0)?1, ?x(0,1)?u?y?e(cos0?1)?e.
(1,0)220.画出二次积分?0dy?2?2?4?y24?y2f?x,y?dx的积分区域D并交换积分次序.
解：D：???0?y?2,22??2?4?y?x?2?4?y
2y ?0?x?4,的图形如右图，由图可知，D也可表为??4dx?04x?xf?x,y?dy. 所以交换积分次序后，得?02??0?y?4x?x,
O 2 4 x
21.求平行于y轴，且过点A(1,?5,1)与B(3,2,?3)的平面方程.
解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n.因为平面平行于y轴，所以n?j.又因为平面过点A与B，所以必有n?AB.于是，取n=j?AB,
ij1k0 而AB={2，7，?4} ，所以 n=0=?4i?2k，
27?4因此，由平面的点法式方程，得?4(x?1)?0(y?5)?2(z?1)?0，即 2x?z?3?0. 解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax?By?Cz?D?0, 由于平面平行于y轴，所以 B?0，原方程变为Ax?Cz?D?0，又所求平面过点A(1,
?5, 1)与B(3 , 2, ?3)，将A,B的坐标代入上述方程，得?
?A?C?D?0,
?3A?3C?D?0,解之得 A?2C,
D??3C,代入所设方程，故所求平面方程为 2x?z?3?0.
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