18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：
（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；
（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有43种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．
（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．
【解答】解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，
每一个有四种选择，共有43种结果． 满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有根据等可能事件的概率
．
，
（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，
，
∴X的分布列为： ξ P 0 ，，
1 2 3 ∴ξ的数学期望：．
法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，ξ的所有可能结果为0，1，2，3， 且ξ～B（3，
），，
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，
，
∴X的分布列为：
ξ P ∴X的数学期望：
19．在四棱锥P﹣ABCD中，
，
0 ，
1 2 3 ．（Eξ=1×=）．
，△PAB和△PBD都是边长为2
的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O． （1）求证：O是AD中点； （2）证明：BC⊥PB；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O为AD中点．
（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．
（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形， ∴PA=PB=PD，
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又∵PO⊥底面ABCD， ∴OA=OB=OD，
则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形， ∴点O为AD中点．
（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点， 于是PO⊥面ABCD， ∴BC⊥PO，
∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD， ∴又从而
，∴
，
，
即CB⊥BO，
由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO， ∴BC⊥PB．
（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，
∵AB=2，则O（0，0，0），
，，
设面PAB的法向量为
，
取x=1，得y=﹣1，z=1，
，则，
，
，
，，，
，，得，
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故．
，则， ，
，
，得s=0，
，
设面PBC的法向量为取r=1，则t=1，故于是
由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角， 所以该二面角的余弦值为
20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过点（2，
）且离心率等于
，
．
点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；
（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；
（2）求出kAPkBP=﹣，设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用kOMkON=﹣，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论． 【解答】（1）解：椭圆C：于
，
，即：
，
，解得a2=8，b2=4，
+
=1（a＞b＞0）经过点（2，
）且离心率等
可得=
所求椭圆方程为：．
（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，
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