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当n=1时,T1=1;
当n≥2时,Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2,①3Tn=3+4?31+6?32+…+2n?3n﹣1,② ①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2(3+3+…+312n﹣2
)﹣2n?3
n﹣1
=2+2?
3(1?3???2)
?2???3???1=
1?3
﹣1+(1﹣2n)?3n﹣1 ∴Tn=11
2+(n﹣2)3n﹣1(n≥2).
又∵Tn=a1=1也满足上式,∴Tn=11
n﹣12+(n﹣2)3(n∈N*) 4.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn=??
??
2???1.证明：数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解答】解：由an+1=2an+2n.两边同除以2n得????+12=??
??
??2???1+1
∴
????+12?????
??
2???1=1,即bn+1﹣bn=1
∴{bn}以1为首项,1为公差的等差数列
(2)由(1)得??
??
2???1=1+(???1)×1=??
∴an=n?2n﹣1
Sn=20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1 2Sn=21+2×22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n ∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n?2n =1?2??
1?2????2??=(1???)?2???1 ∴Sn=(n﹣1)?2n+1
5.数列{an}的通项an=n2(cos2????
????
3﹣sin23),其前n项和为Sn.
千里之行 始于足下
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(1)求Sn;
(2)bn=??
3??
???4??,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解答】解：(1)由于??????2
????????3
???????2
3
=??????
2????3
,????=??2???????
2????3
故S3k=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3k﹣2+a3k﹣1+a3k) =(?
12+222
42+522
2+3)+(?
2
+6)+?+[?
(3???2)2+(3???1)2
2
+(3??)2]
=13
3118???5??(4+9??)
2+
2
+?+2
=
2
??3???1=??3?????3??=
??(4?9??)
2
, ????(4?9??)
13???2=??3???1???3???1=
2
+
(3???1)2
2
=2???=?
3???23
?1
6,
???1
3?6
??=3???2故????={
(??+1)(1?3??)
6
??=3???1(k∈N*) ??(3??+4)
6
??=3??(2)????9??+4??=3??
???4??=
2?4??,
??11322
9??+4??=2[4+42+?+4??],
4????=1
229??+4
2[13+
4
+?+4???1],
99两式相减得3??1
9
9
9??+4??=2[13+4+?+4???1?4??
]=1
4?4??2[13+
1?1?
9??+444??
]=8?
1
9??
22???3?22??+1, 故??8
1
3??
??=3?3?22???3?22??+1. 6.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(4﹣an)qn﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
千里之行 始于足下
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【解答】解：(1)设{an}的公差为d, 由已知得{
3??1+3??=6
8??1+28??=?4
解得a1=3,d=﹣1
故an=3+(n﹣1)(﹣1)=4﹣n; (2)由(1)的解答得,bn=n?qn﹣1,于是 Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?qn﹣1. 若q≠1,将上式两边同乘以q,得 qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?qn. 将上面两式相减得到
(q﹣1)Sn=nqn﹣(1+q+q2+…+qn﹣1) =nq﹣???1 于是Sn=
??????+1?(??+1)????+1
(???1)2
n
?????1
??(??+1)2
若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=
??????+1?(??+1)????+1
所以,Sn={
(???1)2??(??+1)2
(??≠1)
.
(??=1)
7.设C1,C2,…,Cn,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线??=
√3??相切,对每一个正整数3
n,圆Cn都与圆Cn+1相互外切,以rn表示Cn
的半径,已知{rn}为递增数列. (1)证明：{rn}为等比数列;
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(2)设r1=1,求数列{??
????
}的前n项和.
【解答】解：(1)将直线y=√3,则有tanθ=√31
3x的倾斜角记为3,sinθ=2, 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知
????1
????
=2
,得λn=2rn;同理
λn+1=2rn+1,从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,将λn=2rn代入, 解得rn+1=3rn
故|rn|为公比q=3的等比数列.
(2)由于r1=1,q=3,故rn=3n﹣1,从而??
????
=???31???,
记??12??
??=??1
+??2
++????
, 则有Sn=1+2?3﹣1+3?3﹣2+…+n?31﹣n
????
3=1?3?1+2?3?2+?+(???1)?31???+???3??? ①﹣②,得
2?????13
=1+3+3?2+?+31???????3???
=
1?3???
32????3???=?(??+3
322)?3???,
∴??=9
1
3
??1???
4?2(??+2)?3
=
9?(2??+3)?31???
4
8. 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2－5x＋6＝0的根. (1)求{an}的通项公式;
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