2019年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2019年高考全国卷1文科数学试题及含答案

13．-7 三、解答题

14．6 15．22 16．23 317．解：（1）由条件可得an+1=

2(n?1)an． n将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 从而b1=1，b2=2，b3=4．

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得

an?12an，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． ?n?1nan-?2n?1，所以an=n·2n1．

n（3）由（2）可得

18．解：（1）由已知可得，?BAC=90°，BA⊥AC．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD． 又AB?平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC．

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32． 又BP?DQ?2DA，所以BP?22． 3作QE⊥AC，垂足为E，则QE1DC． ?3由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥Q?ABP的体积为

111VQ?ABP??QE?S△ABP??1??3?22sin45??1．

33219．解：（1）

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（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1?1(0.05?1?0.15?3?0.25?2?0.35?4?0.45?9?0.55?26?0.65?5)?0.48． 50该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

x2?1(0.05?1?0.15?5?0.25?13?0.35?10?0.45?16?0.55?5)?0.35．10 50估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48?0.35)?365?47.45(m3)．

20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．

11所以直线BM的方程为y=x?1或y??x?1．

22（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y?k(x?2)(k?0)，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0． ?y?k(x?2)，2由?2得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．

k?y?2x直线BM，BN的斜率之和为 kBM?kBN?y1y2xy?xy?2(y1?y2)??2112．① x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)将x1?y1y?2，x2?2?2及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 kk2019年高考全国卷1文科数学试题及含答案

x2y1?x1y2?2(y1?y2)?2y1y2?4k(y1?y2)?8?8??0．

kk所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN． 综上，∠ABM=∠ABN．

??)，f ′（x）=aex–21．解：（1）f（x）的定义域为(0，1． x由题设知，f ′（2）=0，所以a=从而f（x）=

1． 2e21x1x1e?lnx?1e?． f ′x=，（）2e22e2x当02时，f ′（x）>0．

所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．

1ex（2）当a≥时，f（x）≥?lnx?1．

eeexex1 设g（x）=?lnx?1，则g?(x)??．eex当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点． 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．

1因此，当a?时，f(x)?0．

e22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

解：（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为 (x?1)2?y2?4．

（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有

两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点． 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|?2，故k??4或k?0．

3k2?14经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共

3点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k?2|?2，故k?0或k?4． 3k2?12019年高考全国卷1文科数学试题及含答案

经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?43时，l2与C2没有公共点． .综上，所求C41的方程为y??3|x|?2．

．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

??2,x??1,解：（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)???2x,?1?x?1,?

?2,x?1.故不等式f(x)?1的解集为{x|x?12}．

（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立．若a?0，则当x?(0,1)时|ax?1|?1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?22a，所以a?1，故0?a?2． 综上，a的取值范围为(0,2]．

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