2020-2021中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合及详细答案

2020-2021中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合及详细答案

一、圆的综合

?上一点E作EG∥AC1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE． （1）求证：∠G=∠CEF； （2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =

3，AH=33，求EM的值． 4

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】

253. 8试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出?AD??AC，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明； （2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得

AHHC?，由此即可解决问题； EMOE试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴?AD??AC，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=∵OC=r，OH=r﹣3AH3=，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，HC4253，62223，HC=43，∴(r?33)?(43)?r，∴r=

∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴

AHHC?，EMOE3343?253∴EM∴EM=，． 25386点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

2．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上； （2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；

（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积． 【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)【解析】（1）解：连接AM、BM，

63. 8

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点 ∴AM＝BM＝PM=QM=

1 PQ， 2∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。 （2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5 ∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5 则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9， 当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x

由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3 2 ∴点Q的坐标为（32 ，9）

（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5） 当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）

93 －3＝ ， Q1Q2＝6－4＝2

22线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1

∴M1M2＝

其面积为：【解析】 【分析】

1363×( ＋2)×4.5＝.

822根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题. 【详解】

（1）解：连接AM、BM，

∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点 ∴AM＝BM＝PM=QM=

PQ，

∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。 （2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，

∵AM＝BM

∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5 ∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5 则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9， 当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，

HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x