由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝3 ∴点Q的坐标为（3
，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5） 当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5） ∴M1M2＝
－3＝
， Q1Q2＝6－4＝2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：×( 【点睛】
＋2)×4.5＝.
本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键.
3．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.
(1)设AB的长为a，PB的长为b(b (2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. 【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6. 【解析】 试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积． （2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角 形，进而可根据勾股定理求出PC的长． 试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置， ∴△PAB≌△P'CB， ∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）； （2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B， ∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°， ∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°， ∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形． PC= =6． 考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质． 4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B. (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ 3，求FC的长． 3 【答案】（1）见解析 【解析】 分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可． 详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB. 又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB， ∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°， ∴FC⊥OC， ∴FC是⊙O切线． AE4??43(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=tan?ACE， 33设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4. 在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2， 即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8. ∴OE＝r－4＝4＝AE. ∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°. 在Rt△FOC中， ∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°， ∴OF＝2OC＝16， ∴FC＝OF2?OC2?83. 点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键． 5．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切 线． 【答案】(1) B（【解析】 ，2）．(2)证明见解析. 试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题； （2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可 试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：NB= ， ∴B（ ，2）． （2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°， 在Rt△NCB中，D为NB的中点， ∴CD= NB=ND， ∴∠CND=∠NCD， ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC， ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD． ∴直线CD是⊙M的切线． 考点：切线的判定；坐标与图形性质． 6．.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6．D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线．．DC于点F，过F作FG⊥EF交直线．．BC于点G，设⊙D的半径为r． （1）求证AE＝EF； （2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值； （3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3) 3?r?【解析】 【分析】 63 5（1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE，而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A，即可求解； （2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F，∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r，由勾股定理，即可求解； （3）分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可． 【详解】 解：设圆的半径为r； （1）连接DE，则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE， 而∠DEF=∠DFE，则∠DEF=∠DFE=30°=∠A， ∴AE=EF； （2）如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为F ∠A=30°，AB=6，则BF=3，AD=2r， 由勾股定理得：（3r）2+9=36， 解得：r=3；
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