（3）①当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG，
FC?33?3r,GC?3FC?9?33r
②当点F在线段AC的延长线上时，如图4所示，连接DE、DG，
FC?33?3r,GC?3FC?33r?9
两种情况下GC符号相反，GC2相同， 由勾股定理得：DG2=CD2+CG2， 点G在圆的内部，故：DG2＜r2， 即：(33?2r)2?(33r?9)2?r2 整理得：5r2?113r?18?0 解得：3?r?【点睛】
本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．
63 5
7．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，交BC于点M，若∠CAB＝2∠B，CF＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.
（2）先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出S?A0E、S扇形BOE 、S?ABM 的值，利用
6??33.
4S阴影部分?S?A0E?S扇形BOE?S?ABM，然后通过计算即可解答.
【详解】
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90o,
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90o ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC； （2）连接OE，如图，
∵△ACB中，∠ACB＝90o,∠CAB＝2∠B, ∴∠B＝30o,∠CAB＝60o,∴△OCA是等边三角形， ∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90o, ∴∠ACD＝∠B＝30o,
∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30o,∴FC=FA, 同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23, Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC, 2∵∠B＝∠CAE＝30o,∴∠AOC=∠COE=60o, ∴∠EOB=60o,∴∠EAB=∠ABC=30o,∴MA=MB, 连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，
∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝OA×tan30o=3 , ∵△CDO≌△EDO(AAS)， ∴EG=CD=AC×sin60o=∴S?ABM?33， 21AB?MO?33, 293， 4同样，易求S?AOE?S扇形BOE60??323? ??3602424933?6??33∴S阴影部分?S?A0E?S扇形BOE?S?ABM=. ??33?【点睛】
本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.
8．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F； （1）求证：∠ADC+∠CBD＝
1∠AOD； 2（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】
nn?1?根据垂径定理得到BD?CD，根据等腰三角形的性质得到
?ODA?11180o??AOD?90o??AOD，即可得到结论； 22??nn?2?根据垂径定理得到BE?CE，BD?CD，根据等腰三角形的性质得到
?ADO??OAD，根据切线的性质得到?PAO?90o，求得?OAD??DAP?90o，推
出?PAF??PFA，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】
?1?证明：QOD?BC，
?BD?CD，
nn??CBD??DCB，
Q?DFE??EDF?90o， ??EDF?90o??DFE，
QOD?OA，
11??ODA??180o??AOD??90o??AOD，
221?90o??DFE?90o??AOD，
21??DEF??AOD，
2Q?DFE??ADC??DCB??ADC??CBD，
1??ADC??CBD??AOD；
2?2?解：QOD?BC，
?BE?CE，BD?CD， ?BD?CD， QOA?OD，
??ADO??OAD， QPA切eO于点A，
??PAO?90o， ??OAD??DAP?90o，
nnQ?PFA??DFE， ??PFA??ADO?90o，
??PAF??PFA， ?PA?PF． 【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别
图形是解题的关键．
9．如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E． （1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
【答案】（1）30°；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°； （2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形． 【详解】
（1）解：在△AOC中，AC＝4， ∵AO＝OC＝4， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AEC＝30°；
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ∴OC∥BD．
∴∠ABD＝∠AOC＝60°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ∴∠EAB＝∠AEC． ∴CE∥OB，又∵CO∥EB ∴四边形OBEC 为平行四边形． 又∵OB＝OC＝4． ∴四边形OBEC是菱形． 【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．
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