10．如图，AB为eO的直径，C、D为eO上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE?DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F.
（1）连接AC、AD，求证：?DAC??ACF?180?. （2）若?ABD?2?BDC. ①求证：CF是eO的切线. ②当BD?6，tanF?3时，求CF的长. 420. 3【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② CF?【解析】 【分析】
（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB证得AD∥CF，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）①连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
②由CF∥AD，证出∠BAD=∠F，得出tan∠BAD=tan∠F=用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=【详解】
解：（1）AB是eO的直径，且D为eO上一点，
BD34=，求出AD=BD=8，利AD43OC3=，即可求出CF． CF4??ADB?90?， QCE?DB， ??DEC?90?， ?CF//AD，
??DAC??ACF?180?. （2）①如图，连接OC. QOA?OC，??1??2. Q?3??1??2， ??3?2?1.
Q?4?2?BDC，?BDC??1，
??4?2?1， ??4??3，
?OC//DB. QCE?DB， ?OC?CF.
又QOC为eO的半径， ?CF为eO的切线.
②由（1）知CF//AD，
??BAD??F， ?tan?BAD?tanF?3， 4?BD3?. AD4QBD?6
4?AD?BD?8，
3?AB?62?82?10，OB?OC?5.
QOC?CF， ??OCF?90?，
OC3?tanF??，
CF420. 解得CF?3【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
11．已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．
[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝ 度； [探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC的大小．
[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝或
﹣1．
时，直接写出BC的长．
+1
【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为【解析】 【分析】
[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS） 即可解决问题；
[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS） 即可解决问题； [应用]分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】
解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．
∵AC⊥DC，DB⊥MN， ∴∠ACD＝∠DBA＝90°． ∴∠CDB+∠CAB＝180°， ∵∠CAB+∠CAE＝180°
∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD， ∴△BCD≌△ECA（SAS）， ∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA， ∵∠ACE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠DCB＝90°， 即∠ECB＝90°，
∴∠ABC＝45°． 故答案为45 【探究】
不改变．理由如下：
如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．
∵AC⊥DC，DB⊥MN， ∴∠ACD＝∠DBA＝90°， ∵∠AOC＝∠DOB， ∴∠D＝∠EAC，CD＝AC， ∴△BCD≌△ECA（SAS）， ∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA， ∵∠ACE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠DCB＝90°， 即∠ECB＝90°， ∴∠ABC＝45°． 【拓展】
如图①﹣1中，连接AD．
∴∠ACD+∠ABD＝180°， ∴A，C，D，B四点共圆， ∴∠DAB＝∠DCB＝30°， ∴AB＝
BD＝
， +
，
∴EB＝AE+AB＝
∵△ECB是等腰直角三角形，
如图②中，同法可得BC＝综上所述，BC的长为【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
+1或
﹣1． ﹣1．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．
（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于?AB的点是 ；
（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标xp的取值范围；
（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）P2，P3；（2）xP＜-5或xP＞-【解析】 【分析】
（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；
（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断； （3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题. 【详解】
（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独
5．（3）-3＜t＜1-2或1+2＜t＜7-2． 3
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