2015-2016学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1．集合M={1，2，3}的子集的个数为 ．
2．不等式|x﹣1|＞2的解为 ．
3．设实数a，b满足a2+b2=1，则乘积ab的最大值为 ． 4．命题“若
5．已知集合 A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若 A∪B=B，则实数a的取值范围是 ．
6．若A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，A∩B={﹣3}，则a= ． 7．不等式
8．已知α：
，β：1﹣2a＜x＜3a+2，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取的解为 ．
，则x=﹣1或y=1”的否命题为 ．
值范围是 ．
9．若集合{x|mx2+mx+1＜0，x∈R}=?，则实数m的取值范围是 ．
10．若关于x的不等式组是 ．
11．设x，y是正实数，记S为x，
，中的最小值，则S的最大值为 ．
的整数解集为{﹣2}，则实数k的取值范围
1
12．设n是一个正整数，定义n个实数a1，a2，…，an的算术平均值为
．设集
合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令αz表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的αz的算术平均值为 ．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 13．实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（ ） A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（ ） A．
B．
D．
C．a2+b2＞2ab
15．对于实数a，b，c，给出下列命题： ①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若0＞a＞b，则③若a＞b，
；
，则a＞0，b＜0；
．其中真命题的个数为（ ） D．3
④若a＞b＞c＞0，则A．0
B．1
C．2
16．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b=
a∨b=
若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）
2
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．
17．已知全集U={1，2，3，…，10}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，求 A∪B，A∩B，（CUA）∩B，A∪（ B∩C）．
18．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
19．（1）解关于x的不等式：
；
（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 A?R+，证明：2a3+4a≥5a2+1．
20．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
两数中至少有一个属于 A．
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数； （3）求an=30时n的最大值．
21．绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．
（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；
3
（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．试猜想：若n为奇数，则当x∈ 时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈ 时，S取到最小值；（直接写出结果即可）
（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．
4
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