(2020年整理)全国高中数学联赛试题及答案.doc

学 海 无 涯

二〇〇五年高中数学联赛试卷

一、选择题

1. 使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是 A.

6?3

B.

3

C.

6?3

D.

6

2. 空间四点A、B、C、D，满足|AB|?3、|BC|?4、|CD|?11、|DA|?9，则AC?BD的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个 3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则D'C'AA1?cosABC?BB1?cos?CC1?cos222的值是 sinA?sinB?sinCA'DB'CBA. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则

A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值

x2y2??1表示的曲线是 5. 方程

sin2?sin3cos2?cos3A. 焦点在x轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的椭圆

6. 记集合T??0,1,2,3,4,5,6}，M??到小顺序排列，则第XXXX个数是 A.

B. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线

?a1a2a3a4??2?3?4ai?T,i?1,2,3,4?，将M中的元素按从大?7777?5563556211041103?2?3?4 B. ?2?3?4 C. ?2?3?4 D. ?2?3?4 7777777777777777

二、填空题

7. 将多项式f(x)?1?x?x?x???x?x2231920表示为关于y的多项式g(y)?

2a0?a1y?a2y2???a19y19?a20y20，且y?x?4，则a0?a1???a20=__________。

8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a?a?1)?f(3a?4a?1)成立，则实数a的取值范围是_____________。 9. 设α、β、γ满足0???????2?，若对任意x?R，cos(x??)?cos(x??)?cos(x??)?0成立，则???=_____。

AC1?2，则CD=_________。 ，∠ACB=45°，AD?BC?62211. 正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两顶点在y?x上，则正方

10. 如图，四面体DABC的体积为

形面积的最小值为_____________。

12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=XXXX，则a5n=______。

DCAB

三、解答题

27an?45an?3613. 数列{an}满足a0=1，an?1?，n?N，证明：(1)对于任意n?N，a为整数；

2(2)对于任意n?N，anan?1?1为完全平方数。

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14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的 概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。

15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，

AEBF??1，F在线段BC上，??2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物ECFC线上移动时，求P的轨迹方程。

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二○○五年全国高中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；

其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准

适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x的不等式x?3?6?x?k有解的实数k的最大值是（ ） A．6?3 B．3 C．6?3 D．6 解：令y?x?3?6?x,3?x?6,则y2?(x?3)?(6?x)?2(x?3)(6?x)?2[(x?3)

?(6?x)]?6.?0?y?6,?实数k的最大值为6。选D。

2．空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）

A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个

?22解：注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则DA?DA=

2222(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2? BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?

2BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0,?AC?BD只有一个值得0，故选

A。

3．?ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1。则

AA1?cosABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为（ ） sinA?sinB?sinCAA?B?CBC)?2sin(??) 2222A．2 B．4 C．6 D．8 解：如图，连BA1，则AA1?2sin(B?