2006 - 2007学年第二学期数学分析试题A

2006——2007学年第二学期数学分析试题A

（0601，0602，0603）

一：填空（20分）

1. 必要 2. 两， 1、-1 3. 1、0 4. 0

?)n,??N 5. x'(t)与y'(t)不同时为0 6. sinx(?n?27. (?3,1) 8. 充要 9. lim(bn?an)?0

n??二：判断（16分）

????????

三：计算下列各题（15分）

12ln(x?1?x)dx??xln(x?1?x2)??x21?x11?xln(x?1?x2)??d(1?x2) (4分) 21?x2?xln(x?1?x2)?1?x2?C (5分) dx?1?sinx1?sinx??dx1?sin2x1?sinx??dxcos2x2sinxdxcos2x1??sec2xdx??2d(cosx)cosx1??sec2xdx??2d(cosx)cosx1?tanx??Ccosx??sec2xdx??dx(3分)

(3分)

(4分)?tanx?secx?C3?(5分)

?e1x2lnxdx1e3lnxd(x)(3分)?13e1e ?(x3lnx|1??x2dx)1311e?(e3?x3|1)331?(2e3?1) (5分) 9四：解下列各题（28分）

1.ln(1?x)?0xdxnx2x3n?1xx?????(?1)??123n??dx0xn?11xx2n?1x??(1?????(?1)??)dx023nxxx?[x?()2?()3???(?1)n?1()n??]1023n111?1?()2?()3???(?1)n?1()n??23n1(4分)(5分)

(7分)(2n)!(a?1)

n??an!(2n)!对于级数?n!，当a?1时， （4分）

a2.limun?1(2n?1)(2n?2) ??0(n??)， （6分）n?n!una由比式判别法知该级数收敛，由级数收敛的必要条件知lim(2n)!?0 （7分）

n??an!?111?3.limn?2?2????2n??2n2??(n?1)(n?2)??1?111??lim?????(3分) n??n1222n2??1?()1?()1?()?nnn??n11?lim?? （5分）n??ii?11?()2nn1这里的和式是函数f(x)?在区间[0,1]上的一个积分和，于是有

1?x21?111?lim?2?2???22?n??n(n?1)(n?2)2n?? 11??01?x2?arctanx|10

??4(7分)

4 解：为方便起见。取x轴和y轴如图，此时圆的方程为

x2?y2?9 （3分）

由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重v与深度x到x??x这一狭条?A上所受的静压力为

?P?dP?2vx9?x2dx （6分）

从而闸门上所受的总压力为

P??2vx9?x2dx?18v （7分）

03五：证明（21分）

??cosxdx当0?p?1时条件收敛.(7分) 1、?1xp??cosxdx条件收敛，证明 ：当0?p?1时?这是因为对任意u?1，p1xu1有|?cosxdx|?|sinu?sin1|?2，而p当p?0时单调趋于0(x???)，

1x??cosxdx当0?p?1总是收敛的. (4分) 故由狄利克雷判别法知?1xpcosxcos2x1cos2x??,x?[1,??)其中 另一方面,由于|p|?xx2x2x??cos2x1??costdx?dt满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而?12x?22t??1?12xdx是发散的,因此当0?p?1时该无穷积分不是绝对收敛的,所

以它是条件收敛的. (7分)

2、设f与g都在[a,b]上可积，证明M(x)?max?f(x),g(x)?在[a,b]也可

x?[a,b]积.(7分)

证明 :由于f与g都在[a,b]上可积,故f(x)?g(x)在[a,b]上也

可积,由此f(x)?g(x)在[a,b]上可积,又

f(x)?gx(?)fx?(gx)() M(x)? (6分)

2且可积函数的和、差、数乘及复合函数仍可积，所以M(x)在[a,b]上均可积(７分)

3、证明若级数?anxn的收敛半径为R(?0),且在x?R时收敛,则级数

n?0??an?0?nxn在[0,R]上一致收敛. (7分)

证明：级数?anxn在x?R时收敛，对于x?[0,R]有

n?0?x ?anxn??anRn() (4分)

Rn?0n?0x已知级数?anRn收敛，函数列{()n}在[0,R]上递减且一致有界，即

Rn?0?xx2xn1??()???()???0故由阿贝尔判别法知?anxn在[0,R]上

RRRn?0???n一致收敛. (7分)