高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点
、
动点
满足
，则点
的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解：
. 由条件，
，
，整理得
，此即点
的轨迹方程，所以
的
轨迹为抛物线，选D.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2 已知
，
中，，求顶点
、
、
的对边分别为、、，若
C 的中点为原
，
A O B x ，
y 依次构成等差数列，且
的轨迹方程.
解：如右图，以直线点建立直角坐标系. 由题意，即
为轴，线段
构成等差数列，，又
，
的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，
，故的轨迹方程为.
三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点
例3 如图，从双曲线
的垂线，垂足为
解：设
，求线段，则
的坐标
来表示，再代入到其他动点要满
的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法. 上一点
引直线
的轨迹方程. .
y P Q N O x 的中点
在直线上， ① 又得即.②
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联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：
，此即动点的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点方程.
解：由平面几何知识可知，当即为
的中点
，半径为
为直角三角形时，点
，方程为
的轨迹是以
为直径的圆.此圆的圆心. 故
的轨迹方程为
、
，过
、
作两条互相垂直的直线和
，求和
的交点
的轨迹
.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线轨迹方程.
解：设
，直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
.直线OA的方程为
，
（
）的顶点
作两条互相垂直的弦
、
间建立起联系，然后再从所
，求弦的中点的
由解得，即，同理可得.
由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6 如右图，垂直于轴的直线交双曲线
于
y M P A1 O A2 N 的交点
的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
x 、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与
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解：设及，又，可得
直线的方程为①；直线的方程为②.
①×②得③. 又，代入③得
，化简得
圆心、为半径的圆；当
时，点
，此即点的轨迹是椭圆.
的轨迹方程. 当时，点的轨迹是以原点为
高考动点轨迹问题专题讲解
（一）选择、填空题
1．（ ）已知
、
是定点，
，动点
满足
，则动点
的轨迹是 （A）
椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段 2．（ ）设
，
，
的周长为36，则
的顶点
的轨迹方程是
（A）（） （B）（）
（C）（） （D）（）
3．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P在以
、为焦点的双曲线上运动，则的重心G的轨迹方程是 ；
5．已知圆C：内一点，圆C上一动点Q， AQ的垂直平
分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 ．
6．△ABC的顶点为、，△ABC的内切圆圆心在直线上，则顶
点C的轨迹方程是 ；（）
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变式：若点为双曲线的右支上一点，、分别是左、右焦点，则△的内切圆圆心
的轨迹方程是 ； 推广：若点
为椭圆
上任一点，
、
分别是左、右焦点，圆
与线段
的延长线、线段
及轴分别相切，则圆心的轨迹是 ；
7．已知动点
到定点
的距离比到直线
的距离少1，则点的轨迹方程是
．
8．抛物线
的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
（）
9．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点旋转时，弦
中点的轨迹方程为 ．
解法分析：解法1 当直线的斜率存在时，
设PQ所在直线方程为
与抛物线方程联立，
消去得 ．
设，，中点为，则有
消得．
当直线的斜率不存在时，易得弦的中点为，所求方程． 故所求轨迹方程为． 解法2 设
，
，
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也满足
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