人教版九年级数学上册
难点探究专题:抛物线与几何图形的综合(选做)
——代几结合,突破面积及点的存在性问题
◆类型一 二次函数与三角形的综合 一、全等三角形的存在性问题
1.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等?若存在,求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.
二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题
2.(2016·凉山州中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当点P到点A、点B的距离之和最短时,求点P的坐标;
(3)点M也是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
◆类型二 二次函数与平行四边形的综合
3.如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,A点在B点左侧.若点E在x轴上,点P在抛物线上,且以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,抛物线y=13
2x2+x-2与x轴
相交于A,B两点,顶点为P.
(1)求点A,B的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点E,使△ABP
的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标.
◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合
5.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为________.
第5题图 第6题图
6.如图,抛物线y=ax2-x-3
2与x轴正半
轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF.则a=,点E的坐标是_________________.
7. (2016·新疆中考)如图,对称轴为直线x=7
2
的抛物线经过点A(6,0)和B(0,-4). (1)求抛物线的解析式及顶点坐标; (2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且
位于第一象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式;
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形.
8.(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线l经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线l上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系,
①直接写出O,P,A三点的坐标; ②求抛物线l的解析式;
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
答案:
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