人教版九年级数学上册 7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)(含答案)

人教版九年级数学上册

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)

——代几结合，突破面积及点的存在性问题

◆类型一 二次函数与三角形的综合 一、全等三角形的存在性问题

1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题

2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；

(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

◆类型二 二次函数与平行四边形的综合

3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，抛物线y＝13

2x2＋x－2与x轴

相交于A，B两点，顶点为P.

(1)求点A，B的坐标；

(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP

的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．

◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合

5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.

第5题图 第6题图

6．如图，抛物线y＝ax2－x－3

2与x轴正半

轴交于点A(3，0)．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．

7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x＝7

2

的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且

位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

8．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．

(1)建立适当的平面直角坐标系，

①直接写出O，P，A三点的坐标； ②求抛物线l的解析式；

(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

答案：