书 山 有 路
专题 全等与相似
一
1．（2012年，福州）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______，cosA的值是______________．(结果保留根号)
考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点DA
作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．
D
B C
2．（2012年，桂林）(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．
(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．
二.
C1. （2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在
C边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.
GG（1）求线段BG的长；
FE解： FE
（2）求证：DG平分∠EDF;
BBAAD证： D（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 证： 2．（2012铜仁）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
1
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3．（2012年，南通）
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts． (1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．
5
①若a＝，求PQ的长；
2
②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
4．（2012无锡）如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．
5．（2012?资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
2
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（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
6．（2012年，遵义）（12分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形， P
是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重 合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同 ．．．．
的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重 合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. （1）当∠BQD=30O时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？
如果不变，求出线段ED的长；如果发生改 变，请说明理由． 7．（2012年，河北）
如图13?1，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
（1）AE和ED的数量关系为___________，
AE和ED的位置关系为___________；
（2）在图13?1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接
GH，HD，分别得到了图13?2和图13?3； ①在图13?2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1:2，H是EC的中点.求证：
GH=HD，GH⊥HD.
②在图13?3中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k:1，若BC=2，请直接写出CH 3
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的长为多少时，恰好使得GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
8、（2012年，河南）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.
原题：如图1，在ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若
AFCD的值。 =3，求
BFCG（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，
CD的值是 CGAFCD的值是 （用含m的代数式表示），试写出解答过程。 =m(m?0)则CGBFABBC=a,=b(a?0,b?0)，CDBE（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若则
AF的值是 （用含a,b的代数式表示）. EF
9.（2012年，广元）（本小题7分）
如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写
题（用序号写出命题书写形式：“如果，，那么”）；
4
出你认为正确的所有命
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（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。
答案：一 1.解答：解：∵ △ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，
180°－∠A∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°．
2∵ BD是∠ABC的平分线， 1
∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°．
2∴ ∠A＝∠DBC＝36°， 又∵ ∠C＝∠C， ∴ △ABC∽△BDC，
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