南京市2018届高三年级学情调研卷
数学附加题 2017.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的．．．答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指．．．．
定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B， DA＝DC．求证： CA＝3CB．
B．选修4—2：矩阵与变换
设二阶矩阵A＝?
－
D A O B C （第21A题）
12??34?．
（1）求A1；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C?：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
?x＝－1＋t，
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），圆C的参数方程为
?y＝t
?x＝a＋cos，?（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值． ?y＝2a＋sin
D．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD
＝1．
π
（1）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；
3（2）求二面角B－PD－A的余弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，
2，3，4．现从袋中随机取两个球．
（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数
学期望．
B （第22题） A D C
P
南京市2018届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1
1．{0，2} 2．7 3．16 4．－2 5．
26．3 7． 6 8．18
9．－1 10．6
14
11．(－∞，2] 12． 13．－ 14．[0，2]∪[3，8]
33
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把
答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC． A1 A
因为AE平面ABC，
所以CC1AE． ……………2分
F 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC． C1 C
因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，
E 且BC∩CC1＝C，
B1
B
所以AE平面B1BCC1． ………………5分 (第15题） 因为AE平面AB1E，
所以平面AB1E平面B1BCC1. ……………………………7分 （2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
所以F为A1B的中点． ……………………………9分 又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C． ……………………………11分 因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，
所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分
16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1
a2＋c2－b244
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝． ………………………2分
52ac5c
()2＋c2－b224b29
因为c＝2a，所以＝，即2＝，
c5c202c×
2
b35所以＝． ……………………………4分
c10sinBb
又由正弦定理得＝，
sinCc
sinB35所以＝． ……………………………6分
sinC10解法2
4
因为cosB＝，B∈(0，
5
3
)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………………2分
5
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA， 68
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，
55
即－sinC＝2cosC． ………………………4分 25
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
5sinB35所以＝． ………………………6分
sinC1047
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝． …………………………8分
525
3
又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，
5
3424
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝． …………………………10分
5525ππ3π
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
444
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