3π
所以sinA＝sin(－2B)
4
3π3π
＝sincos2B－cossin2B ………………………………12分
44 ＝
27224×－(－)× 225225
312
＝． …………………………………14分
50
17．（本小题满分14分）
9000解：（1）因为t1＝， ………………………2分
x
30001000t2＝＝ ， ………………………4分
3(100－x)100－x90001000
所以f(x)＝t1＋t2＝＋， ………………………5分
x100－x定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． ………………………6分 9191
（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)]( ＋) x100－xx100－x
9(100－x)x
＝10[10＋＋ ]． ………………………10分
x100－x因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x
所以＋ ≥2
x100－x
9(100－x)x
＞0，＞0， x100－x
9(100－x)x
?＝6， …………………12分 x100－x
9(100－x)x
当且仅当＝，即当x＝75时取等号． …………………13分
x100－x答：当x＝75时，f(x)取得最小值． ………………………14分
18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C的离心率为
3
，所以a2＝4b2． ………………………2分 2
3
314
又因为椭圆C过点(1，)，所以2＋2＝1， ………………………3分
2ab解得a2＝4，b2＝1．
x22
所以椭圆C的方程为＋y＝1． ………………………5分
4（2）解法1
x02
设P(x0，y0)，－2＜x0＜2， x0≠1，则＋y02＝1．
4
因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，
所以2－x0＝m． ………………………7分 y0
由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝(x＋2)，
x0＋2
y0(m＋2)y0(m＋2)
令x＝m，得y＝，即M(m，)．
x0＋2 x0＋2
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
y0(m＋2)
x0＋2y0
所以kPB·kMB＝·＝－1， ………………………10分
x0－1 m－1y02（m＋2）即＝－1． (x0－1)( x0＋2)( m－1)
x02( x0－2)(m＋2)因为＋y02＝1．所以＝1． ………………………12分
44(x0－1) ( m－1)因为x0＝2－m ，所以化简得3m2－10m＋4＝0，
5±13解得m＝． ………………………15分
35＋13因为m＞2，所以m＝． ………………………16分
3解法2
①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，
??x＋y2＝1，联立?4消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．
?y＝k(x＋2)，?
因为xA＝－2，所以xP＝
－8k2＋24k
，所以y＝， P
4k2＋14k2＋1
2
－8k2＋24k
所以P(2，2)． ………………………8分
4k＋14k＋1－8k2＋216k2
因为PN的中点为B，所以m＝2－2＝．(*) ……………………10分
4k＋14k2＋1因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，
－8k2＋21
因为直线PB与x轴不垂直，所以2≠1，即k2≠，
124k＋14k
4k2＋1－4kk(m＋2)
所以kPB＝＝，k＝． MB
－8k2＋212k2－1m－1
－1
4k2＋1因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
－4kk(m＋2)所以2·＝－1．（**） ………………………12分
12k－1m－1将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，
4±1316k25±13
解得k2＝，所以m＝2＝． ………………………15分
1234k＋15＋13
又因为m＞2，所以m＝． ………………………16分
3
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f ′(0)＝6a，
1
所以6a＝3，所以a＝． ………………………2分
2（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，
2lnx
所以－(a＋1)≥2． ………………………4分
x2(1－2lnx)2lnx
令g(x)＝2，x＞0，则g?(x)＝．
xx3
令g?(x)＝0，解得x＝e．
当x∈(0，e)时，g?(x)＞0，所以g(x)在(0，e)上单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，g?(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上单调递减． 1
所以g(x)max＝g(e)＝， ………………………6分
e11
所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，
ee
1
所以a的取值范围为(－∞，－1－]． ………………………8分
e（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，
所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．
令f ′(x)＝0，则x＝1或a． ………………………10分 f(1)＝3a－1，f(2)＝4．
5
①当1＜a≤时，
3
当x∈(1，a)时，f ?(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x∈(a，2)时，f ?(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．
又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4． 因为h? (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0， 5
所以h(a)在(1，]上单调递减，
3
558
所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．………………………12分
33275
②当＜a＜2时，
3
当x∈(1，a)时，f ?(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x∈(a，2)时，f ?(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．
又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1． 因为h? (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0． 5
所以h(a)在(，2)上单调递增，
3
558
所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝． ………………………14分
3327③当a≥2时，
当x∈(1，2)时，f ?(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减， 所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5， 所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．
8
综上，h(a)的最小值为． ………………………16分
27
20．（本小题满分16分）
解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．
因为a1＞0，所以a1＝1． ………………………2分 （2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn， ①
所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②
②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1． 因为an＋1＞0，
所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2， ③ ………………………5分 所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④
④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，
an＋1
所以当n≥2时，＝2． ………………………8分
an又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)， 即a22－2a2＝0．
an＋1a2
因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成立，
a1an
所以数列{an}的通项公式为an＝2n1，n∈N*． ………………………10分
(3)由(2)可知Sn＝2n－1．
因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，
所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k， ………………………12分
－－－
所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t2＝(2k1)2－32k2＋1(*)． 由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．
当k＝2时，2t＝8，得t＝3． ………………………14分
－－
当k≥3时，由(*)，得(2k1)2－32k2＋1为奇数，
－
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