P31 第一章 习题答案
3. 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x2 (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度． 解：设质点在x处的速度为v，
a?dvdvdx???2?6x2 dtdxdtv vdv?0???2?6x?dx
203x v?2x?x??12
4.有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：
(1) 第2秒内的平均速度；
(2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．
解：(1) v??x/?t??0.5 m/s (2) v = d x/d t = 9t - 6t2 v(2) =-6 m/s
(3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m
5. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间． 解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c
an??b?ct?/R
2根据题意： at = an 即 c??b?ct?/R
2解得 t?
Rb? cc?6.由楼窗口以水平初速度v0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿v0方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：
(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度． 解：(1) x?v0t , y? y??12gt 2 O 122xg/v0 22222?v0 ?an ?g x (2) v x = v 0，v y = g t，速度大小为： v?vx?vy?v0?gt
方向为：与x轴夹角 ??= tg?1( gt /v 0)
2???at ?2at?dv/dt?g2t/v0?g2t2与v同向．
y
an?g2?at2
??1/2?2?v0g/v0?g2t2方向与at垂直．
7. （1）对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，
??试用半径r、角速度?和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量．已
知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示； y ??（2） 由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式；
（3）试证加速度指向圆心．
?j r ?i??(x,y) x O ?????解：(1) r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j
? ???dr(2) v???r?sin?t i?r?cos?t j
dt????dva???r?2cos?t i?r?2sin?t j
dt???22? (3) a????rcos?t i?rsin?t j???? r ???这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心
8. 一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角??应为多大？
解：设抛出时刻车的速度为v0，球的相对于车的速度为v0，与竖直方向成?角．抛射过程中，在地面参照系中，车的位移 ??/θ 12?x1?v0t?at ① 球的位移 a 2/?x2??v0?v0sin??t ②
v0
12/ ?y2?v0cos?t?gt ③
2小孩接住球的条件 ?x1??x2 , ?y2?0
11//即 at2?v0sin?t ， gt2?v0cos?t
22?1两式相比得 a/g?tg? ，∴ ??tg?a/g?
?/v0 ??????
9.一敞顶电梯以恒定速率v ?10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率v0?20 m/s．试问：
(1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？
解：(1) 球相对地面的初速度
v??v0?v?30 m/s 抛出后上升高度
v?2h??45.9 m/s
2g离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m (2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度 vt?(v?v0)t?12gt 2 t?2v0?4.08 s g10.一球从高h处落向水平面，经碰撞后又上升到h1处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比为常数，问球在n次碰撞后还能升多高？ 解： h? h1?12v1/g ;212v/g 21212h2?v2/g ;??; hn?vn/g
2222k2?vn/vn?1
由题意，各次碰撞后、与碰撞前速度之比均为k，有
222222 k?v1/v ; k?v2/v1 ; ?? ;将这些方程连乘得出：
2n222n k?vn/v?hn/h , hn?hk
又
n k?v1/v?h1/h 222 故
hn?h?h1/h??h1n/hn?1
11.一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．
dvdvdydv??v dtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy
1212 ??kydy??vdv , ?ky?v?C
221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0
222222 v?v0?k(y0?y)
解： a?
12 有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度?为v0的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地
点．
解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为?y方向，由题意可得 ux = 0
uy = a(x?l/2)2＋b 令 x = 0, x = l处 uy = 0, x = l/2处 uy＝－u0 代入上式定出a、ｂ，而得 uy??船相对于岸的速度v(vx，vy)明显可知是 vx?v0/2 vy?(v0/2)?uy， 将上二式的第一式进行积分，有 x?还有，
?4u0?l?x?x 2ly v0 45° u0 l x v02t
dydydxv0dyv04u0?2?l?x?x ??=
dtdxdtdx2l242udy即 ?1?20?l?x?x
dxlv0 vy?因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：
?
y?x?22u0242u03x?2x lv03lv0?32u0?l?1??3v0??? ??到达东岸的地点(x?，y? )为 x??l , y ??yx?l
13.当一列火车以36 km/h的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成30°角．
(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？ (2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？ 解：(1) 题给雨滴相对于地面竖直下落，故相对于地面的水平分速为零．雨滴相对于列车的水平分速与列车速度等值反向为?30°v?Wt10 m/s，正西方向.
vWE (2) 设下标W指雨滴，t指列车，E指地面，则有
??? vWE = vWt+ vtE , v tE =10 m/s ?tEvWE竖直向下，vW t偏离竖直方向30°，由图求得
雨滴相对于地面的速率为 vWE = vtE ctg30o =17.3 m/s
v
雨滴相对于列车的速率 vWt?vtE?20 m/s
sin30?
14.一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向正西北走18 m．求在这50 s内，
(1) 平均速度的大小和方向; (2) 平均速率的大小．
解：(1) OC?OA?AB?BC
???? ?30i?(?10j)?18(?cos45?i)?sin45?j) ?17.27i?2.73j
?? y北 OC=17.48 m，方向??=8.98°(东偏北) ?v??r/?t?OC/?t?0.35 m/s
方向东偏北8.98°
(2) (路程)?S??30?10?18?m=58m,
C 西 O 南 ??????A B x 东 v??S/?t?1.16 m/s
15 河水自西向东流动，速度为10 km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20 km/h. 此时风向为正西，风速为10 km/h．试求在船上观
察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度)
解：记水、风、船和地球分别为w， f，s和e，则水?地、风?船、风?地和船?地间的相对速度分别为Vwe、Vfs、Vfe和Vse．
????由已知条件
Vwe=10 km/h，正东方向． Vfe=10 km/h，正西方向． ?0 Vsw=20 km/h，北偏西30方向．
?Vfs 30o 30?V se V
we?Vswo
0
Vfe
????根据速度合成法则： Vse=Vsw＋Vwe 北
由图可得： Vse=103 km/h，方向正北． 同理 V?????
fs=Vfe－Vse， 由于Vfe=－Vwe ∴ V?fs=Vsw， Vfs的方向为南偏西30° 在船上观察烟缕的飘向即V? fs的方向，它为南偏西30°．
东
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