说明 本文档一共包含两个个非线性的lingo例题的程序学习 其中包含一些数学建模的思想 同时对两个例题采取了多种编程方式 希望在这种仿真式 多角度的编程思想 能够给你启发 与 帮助
例题一
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1（见附录1）。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？
例题一分析
针对问题一，这是典型的单目标优化问题，可以利用线性规划模型进行解决。其目标是在不考虑投资风险的情况下，对20亿投资金进行合理的分配，使得在第五年末的利润达到最大。将五年中8个项目的投资利润累加起来，得到的就是要求的目标函数，要做的是如何安排五年的投资计划，每年投资哪几个项目，每个项目投资多少，该决策要受到两个方面的约束： (1)各个投资项目的投资上限。在对任何一个项目的投资周期内，都不能超过该项目的投资上限。所谓一个投资周期是指从开始投资到第一次获得利润，例如对于项目4，第一年投资30000万元，由于它的运行周期是两年，投资上限是40000万元，所以第二年投资项目4的上限是10000万元。 (2)每年年初用于投资的资金。由于不同的项目有不同的运行周期，所以在五年内每年都会有利润的产生。每年年初用于投资的资金都要小于或等于上年末所拥有的资金。
数据
表一 投资项目预期到期利润率及投资上限 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 预期到期利润率 0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55 上限（亿元） 6 3 4 3 3 2 4 3 表二 各投资项目的投资上限 项目 1 2 3 4 5 6 7 8 上限（亿元） 6 6 3.5 3 3 4 3 3
5.问题一的解答
针对问题一，我们确定模型一 5.1 模型一的建立 5.1.1 确定目标函数
在无风险的情况下对20亿投资资金进行8个项目的投资选择，使得在第五年末
的投资利润达到最大，预投资方案如下表五所示： 投 1 2 3 4 5 项 资 年 额 份 目 6 7 8 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 x11 x12 x22 x32 x42 x52 x13 x23 x33 x43 x14 x24 x34 x44 x15 x25 x35 x16 x26 x36 0 x27 0 0 x38 x21 x31 x41 x51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 根据上表我们确定出目标函数为：
maxW???xijpj
i?1i?1585.1.2 确定约束条件 约束一：投资金额的上限
⑴ 项目1和项目2每年投资金额的上限
xij?Uj，其中i=1，2，3，4，5 j=1,2
⑵ 项目3和项目4在两年的投资周期内投资金额的上限
xij?xi?1,j?Uj， 其中i=2,3,4 j=3,4
⑶ 项目5和项目6在三年的投资周期内投资金额的上限
xij?xi?1,j?xi?2,j?Uj，其中i=3,4 j=5,6
⑷ 项目7只能在第二年年初投资，且投资周期为四年，它的投资上限
x27?U7
⑸ 项目8只能在第三年年初投资，且投资周期为三年，它的投资上限
x38?U8
约束二：每年年初用于投资的资金 ⑴ 第一年年初用于投资的资金 R1?20
⑵ 第二年年初用于投资的资金
R2?20?p1x11?p2x12?x13?x14?x15?x16
⑶ 第三年年初用于投资的资金
R3?20??xi1p1??xi2p2?x13p3?x14p4?x15?x16?x23?x24?x25?x26?x27i?1i?122⑷ 第四年年初用于投资的资金
R4?20??xi1p1??xi2p2??xi3p3??xi4p4?x15p5?x16p6?x25?x26?x27?x33?x34?x35?x36?x38i?1i?1i?1i?13322⑸ 第五年年初用于投资的资金
R5?20??xi1p1??xi2p2??xi3p3??xi4p4??xi5p5??xi6p6?x27?x35?x36?x38?x43?x44i?1i?1i?1i?1i?1i?14433225.1.3 综上所述我们得到问题一的线性规划模型
maxW???xijpj
i?1i?158
这是一个线性规划模型，因此我们利用lingo软件进行编程求解（求解程序见附录2），解得第五年末的最大利润为23.26亿元，五年内的投资方案如下表五所示：
表六：未来五年的投资方案 投资额（亿元） 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 项目1 6 6 6 6 6 x?
项目2 项目3 项目4 项目5 项目6 项目7 项目8 3 3 3 0 4 0 1.151 2.849 1.803 1.197 0 3 0 0.663 2.337 0 0.267 0 1.733 0 0 4 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 上表表明： 在第一年年初，投资项目1到项目8分别为6亿元、3亿元、4亿元、1.803亿元、0、0.267亿元、0、0；
在第二年年初，投资项目1到项目8分别为6亿元、3亿元、0、1.197亿元、0.663亿元、0、4亿元、0；
在第三年年初，投资项目1到项目8分别为6亿元、3亿元、1.151亿元、0、2.337亿元、1.733亿元、0、3亿元；
在第四年年初，投资项目1到项目8分别为6亿元、0、2.849亿元、3亿元、0、0、0、0；
在第五年年初，投资项目1到项目8分别为6亿元、3亿元、0、0、0、0、0、0；
5.3 模型一结果分析
在模型一中，影响最终利润大小的共有三个因素：预计到期利润率，投资金额的上限，投资资金。通过控制变量法对其中的因素进行灵敏性分析，判断它们对最终利润的影响。
⑴ 预期到期利润率的灵敏性分析
预计到期利润率的改变会直接导致模型一中目标函数的改变，当其他两个因素不变，对预计到期利润率进行改变发现，利润率越大，最后得到的利润也越大，也就是说，在没有风险的情况下，利润率与利润呈现正比关系。 ⑵ 投资资金的灵敏性分析
利润=投资金额*利润率，所以利润的大小与投资金额也是密切相关的，在其他两个因素不变时，对投资金额进行改变，来观测最终利润的变化，具体数据下表七所示：
表七：投资金额与利润率的关系 投资资金 18 19 19.473 19.474 20 21 22 （亿元） 利润 22.8222 23.1252 23.2598 23.2600 23.2600 23.2600 23.2600 （亿元） 我们作出上表所对应的曲线图,如下所示：
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