微分方程建模学习

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；

2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；

3.解微分方程；

4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。

最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus)（1766—1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设t时刻的人口总数为y(t)，则单位时间内人口的增长量即为

y(t??t)?y(t)

?t根据基本假设，有 令?t?0，可得微分方程

y(t??t)?y(t)?r?y(t) （r为比例系数）

?t 1

dy?r?y （4.1） dt这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设t?t0时的人口总数为y0，则不难求得该方程的特解为 y?y0?er(t?t0) (4.2)

即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对1700—1961达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！

2.放射性元素衰变模型

放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。根据这一原理，我们也可以通过微分方程研究放射性元素衰变的规律。

设放射性元素t时刻的质量m?m(t)，则其衰变速度就是

dm，于是可得 dtdm???m (4.3) dt其中??0是比例常数，可由该元素的半衰期（质量蜕变到一半所需要的时间）确定；?前置负号表明放射性元素的质量m是随时刻t递减的。

如果在初始时刻（t?0）放射性元素的质量m?m0，则可求得该方程的特解为 m(t)?m0?e??t (4.4) 这说明放射性元素的质量也是随时刻按指数规律递减的。

为了能将求得的放射性元素衰变规律应用于实际，还必须确定上式中的比例常数?。这时，我们可以假设放射性元素的半衰期为T，从而有

m0?m0?e??T 2解之，得??ln2，于是反映放射性元素衰变规律的（4.4）式又可以表示为 Tm(t)?m0?e并由此可解得

?ln2tT (4.5)

t?mTln0 (4.6) ln2m(t)它所反映的是放射性元素由初始时刻的质量m0衰减到m(t)所需要的时间。

放射性元素的衰变规律常被考古、地质方面的专家用于测定文物和地质的年代，其中最常用的是C（碳-12的同位素）测定法。 这种方法的原理是：大气层在宇宙射线不断的轰

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击下所产生的中子与氮气作用生成了具有放射性的C，并进一步氧化为二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到了各种动植物的体内。对于具有放射性的C来说，不论是存在于空气中还是生物体内，它都在不断地蜕变。由于活着的生物通过新陈代谢不断地摄取C，因而使得生物体内的C与空气中的C有相同的百分含量；一旦生物死亡之后，随着新陈代谢的停止，尸体内的C就会不断地蜕变而逐渐减少，因此根据C蜕变减少量的变化情况并利用（4.6）式，就可以判定生物死亡的时间。

下面，我们就来看一个运用C测定法确定年代的具体实例：

1972年8月，湖南长沙出土了马王堆一号墓（注：出土时因墓中女尸历经千年而未腐曾经轰动世界）。经测定，出土的木炭标本中C的平均原子蜕变速度为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中C的平均原子蜕变速度为38.37次/分；如果C的半衰期取为5568年（注：C的半衰期在各种资料中说法不一，分别有5568年、5580年和5730年不等），那么，怎样才能根据以上数据确定这座墓葬的大致年代呢？

在确定衰变时间的公式（4.6）中，由于m0和m(t)表示的分别是该墓下葬时和出土时木炭标本中C的含量，而测量到的是标本中C的平均原子蜕变速度，所有我们还要对（4.6）式作进一步的修改：

对（4.4）式求导，得 m?(t)???m0e??t???m(t) 从而有

1414141414141414141414141414m?(0)???m(0)???m0

上面两式相除，得

m0m?(0) ?m?(t)m(t)代入（4.6），得

t?14Tm?(0)ln (4.7) ln2m?(t)14于是，衰变时间由(4.6)式根据C含量的变化情况确定就转化为由（4.7）式根据C衰变速度的变化情况来确定，这就给实际操作带来了很大的方便。

在本例中，T?5568年，m?(t)?29.78次/分，m?(0)虽然表示的是下葬时所烧制的木炭中C的衰变速度，但考虑到宇宙射线的强度在数千年内的变化不会很大，因而可以假设现代生物体中C的衰变速度与马王堆墓葬时代生物体中C的衰变速度相同，即可以用新砍伐烧成的木炭中C的平均原子蜕变速度38.37次/分替代m?(0)。代入（4.7）可求得

14141414t?

Tm?(0)556838.37ln?ln?2036（年） ln2m?(t)ln229.783

若以T?5580年或T?5730年计算，则可分别算得t?2040年或t?2095年，即马王堆一号墓大约是2000多年前我国汉代的墓葬。 ( 注：后经进一步考证，确定墓主人为汉代长沙国丞相利仓的夫人，名辛追。)

3.固定资产折旧模型

企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧。一般说来，固定资产在任一单位时刻的折旧额与当时固定资产的价值都是成正比的。试研究固定资产价值P与时间t的函数关系。假定某固定资产五年前购买时的价格是10000元，而现在的价值为6000元，试估算再过10年后的价值。

首先我们可以假设t时刻该固定资产的价值为P?P(t)，则在[t,t??t]这段时间内该固定资产单位时刻的折旧额可表示为

P(t??t)?P(t)，由题意可得

?tP(t??t)?P(t)??kP(t) (k?0)

?t令?t?0，即得

dP??kP dt不难求得该方程的通解为

P(t)?Ce?kt

为方便计算，记五年前的时刻为t?0，于是有初始条件

P(0)?10000

代入通解，可求得C?10000，故原方程的特解为

P(t)?10000e?kt

为确定比例常数k，可将另一个条件P(5)?6000代入上式，得

6000?10000e?5k

解出k，得

k?从而有

15ln 53?t5ln53P(t)?10000e5?5?10000()

3t这就是价值P与时间t之间的函数关系。于是，再过10年（即t?15）该固定资产的价值即为 P(15)?10000(5?3)?2160（元） 34