三角恒等变换
113π
1、已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，
7142(1)求tan 2α的值； (2)求β.
1π43
解 (1)∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝，
727∴tan α＝43，
2tan α2×4383
∴tan 2α＝＝＝－. 2
1－tanα1－4847ππ
(2)∵0<β<α<，∴0<α－β<，
2233
∴sin(α－β)＝，
14∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝×＋×＝. 7147142π∴β＝.
3
1???π??π?2
2、已知f(x)＝?1＋sinx－2sin?x＋?·sin?x－?. ?4?4??tan x???(1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若x∈?
?π，π?，求f(x)的取值范围．
??122?
2
π??x＋解 (1)f(x)＝(sinx＋sin xcos x)＋2sin??· 4??
?π?cos?x＋?
4??
π?1－cos 2x1?＝＋sin 2x＋sin?2x＋? 2?22?11
＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x 2211＝(sin 2x＋cos 2x)＋. 22
2sin αcos α2tan α4
由tan α＝2，得sin 2α＝2＝2＝. 2sinα＋cosαtanα＋15
222cosα－sinα1－tanα3
cos 2α＝2＝＝－. 22
sinα＋cosα1＋tanα5
113
所以f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.
225
11
(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋
22＝
π?12?
sin?2x＋?＋.
4?22?
由x∈?
?π，π?，得2x＋π∈?5π，5π?. ??4?4?12?122??
π?22＋1?2x＋∴－≤sin?≤1，∴0≤f(x)≤， ?4?22?所以f(x)的取值范围是?0，
?
?2＋1?
?. 2?
?π?3、已知函数f(x)＝4cos x·sin?x＋?－1.
6??
(1)求f(x)的最小正周期；
?ππ?(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．
?64??π?解 (1)因为f(x)＝4cos xsin?x＋?－1
6??
＝4cos x?
1?3?
sin x＋cos x?－1
2?2?
2
＝3sin 2x＋2cosx－1＝3sin 2x＋cos 2x π??＝2sin?2x＋?，
6??
所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663ππ
于是，当2x＋＝，
62
π
即x＝时，f(x)取得最大值2；
6
πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666
π?4π???4、设α为锐角，若cos?α＋?＝，则sin?2α＋?的值为________．
6?512???π?4?解析 ∵α为锐角且cos?α＋?＝， 6?5?π?π2π?∴α＋∈?，?，
3?6?6
π?3?∴sin?α＋?＝. 6?5?
π?π?π????∴sin?2α＋?＝sin?2?α＋?－?
6?4?12????π?π?ππ??＝sin 2?α＋?cos －cos 2?α＋?sin
6?6?44??π??π?π??2??2?＝2sin?α＋?cos?α＋?－?2cos?α＋?－1? 6??6?2?6????342??4?2?
＝2××－?2×??－1?
552??5??＝
12272172－＝. 255050
172
50
答案
11?π?5、已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈?0，?，则cos(α－β)的值为________．
2?33?1?π?解析 ∵cos α＝，α∈?0，?，
2?3?
22427
∴sin α＝，∴sin 2α＝，cos 2α＝－.
399
122
又cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝.
33∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
?7??1?42×22＝23. ＝?－?×?－?＋
327?9??3?9
答案
23
27
6．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． 1323A. B. C. D. 2322
解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° 1＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝.
2答案 A 7.已知sin?
?π＋α?＝1，则cos(π＋2α)的值为( )．
?3
?2?
7722A．－ B. C. D．－
99931?π?解析 由题意，得sin?＋α?＝cos α＝.
3?2?
722
所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cosα－1)＝1－2cosα＝.
9答案 B
?π?3
8．已知cos?－x?＝，则sin 2x＝( )．
?4?5
187716
A. B. C．－ D．－ 25252525解析 因为sin 2x＝cos?7－1＝－.
25答案 C
3?4??π?9．已知α∈?π，π?，且cos α＝－，则tan?－α?等于( )． 2?5??4?11
A．7 B. C．－ D．－7
77
3?433?解析 因α∈?π，π?，且cos α＝－，所以sin α＜0，即sin α＝－，所以tan α＝.所
2?554?3
1－
?π?1－tan α＝4＝1. 以tan?－α?＝
37?4?1＋tan α1＋4答案 B
π?1πsin 2α－2cosα?α＋10．已知tan?＝－，且＜α＜π，则等于( )． ?4?22π???sin?α－?4??253525310
A. B．－ C．－ D．－
510510
22
π?sin 2α－2cosα2sin αcos α－2cosα1?解析 ＝＝22cos α，由tan?α＋?＝－，得4?π?2?2?α－sin??sin α－cos α4??2
2
?π－2x?＝cos 2?π－x?＝2cos2?π－x?－1，所以sin 2x＝2×?3?2－1＝18
??4??4??5?25?2???????
tan α＋11π
＝－，解得tan α＝－3，因为＜α＜π，所以解得cos α＝－
1－tan α22所以原式＝22cos α＝22×?－
10
＝－，
tanα＋110
21
?
?2510?
?＝－5. 10?
相关推荐：
loading