2?x?y?t?2联立?得：y?2y?3t?0 32??y?3x则??4?12t?0 ?t??1 3?y1?y2?2，y1y2??3t
uuuruuurQAP?3PB ?y1??3y2 ?y2??1，y1?3 ?y1y2??3
2则AB?1?4?9?y1?y2??4y1y2?13413 ?4?12?33【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20.已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f(x)在区间(?1,??2)存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】
??????（1）求得导函数后，可判断出导函数在??1,?上单调递减，根据零点存在定理可判断出?x0??0,?，使
?2??2????得g??x0??0，进而得到导函数在??1,?上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知x?0为
2?????f?x?在??1,0?上的唯一零点；当x??0,?时，首先可判断出在?0,x0?上无零点，再利用零点存在定理
?2???????x,x?,??时，利用零点存在定理和fxfx?0得到??在?0，不存在零点；当?上的单调性，可知???2???2?f?x?单调性可判断出存在唯一一个零点；当x???,???，可证得f?x??0；综合上述情况可证得结论.
【解析】（1）由题意知：f?x?定义域为：??1,???且f??x??cosx?令g?x??cosx?1 x?1???1x??1,? ，?x?12?? 16
?g??x???sinx?11?x?1?2，x???1,????? 2?Q?x?1?2??????在??1,?上单调递减，?sinx，在??1,?上单调递减 ?2??2???????g??x?在??1,?上单调递减
2又g??0???sin0?1?1?0，g??2???sin2???????4???2?2?4???2?2?1?0
?????x0??0,?，使得g??x0??0
?2?????当x???1,x0?时，g??x??0；x??x0,?时，g??x??0
?2?即g?x?在??1,x0?上单调递增；在?x0,则x?x0为g?x?唯一的极大值点
?????上单调递减 2????即：f??x?在区间??1,?上存在唯一的极大值点x0.
?2?（2）由（1）知：f??x??cosx?1，x???1,??? x?1①当x???1,0?时，由（1）可知f??x?在??1,0?上单调递增
?f??x??f??0??0 ?f?x?在??1,0?上单调递减
又f?0??0
?x?0为f?x?在??1,0?上的唯一零点
②当x??0,????2??时，f??x???0,x0?上单调递增，在??x0,?上单调递减
2???又f??0??0 ?f??x0??0
?f?x?在?0,x0?上单调递增，此时f?x??f?0??0，不存在零点
又f???22????cos????0 ?2??2??2?2? 17
?????x1??x0,?，使得f??x1??0
2??????f?x?在?x0,x1?上单调递增，在?x1,?上单调递减
?2?又
?2e???????ln1?0 f?x0??f?0??0，f???sin?ln?1???ln222??2????????f?x??0在?x0,?上恒成立，此时不存在零点
2??③当x?????,??时，sinx单调递减，?ln?x?1?单调递减 2??????f?x?在?,??上单调递减
?2?又f??????0，f????sin??ln???1???ln???1??0 2????????f??f?0fx即????，又??在?,??上单调递减
?2??2?????f?x?在?,??上存在唯一零点
?2?④当x???,???时，sinx???1,1?，ln?x?1??ln???1??lne?1
?sinx?ln?x?1??0
即f?x?在
??,???上不存在零点
综上所述：f?x?有且仅有2个零点
【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
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治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中a?P(X??1)，
b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4?【思路引导】
（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得
1. 257pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得
证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合法可求出p4.
【解析】（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
p8和p0的值可求得p1；再次利用累加
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
则X的分布列如下：
X P
?1 0 1 ?1???? ????1????1??? ??1??? （2）Q??0.5，??0.8
?a?0.5?0.8?0.4，b?0.5?0.8?0.5?0.2?0.5，c?0.5?0.2?0.1
（i）Q即
pi?api?1?bpi?cpi?1?i?1,2,???,7?
pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?
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整理可得：5pi?4pi?1?pi?1?i?1,2,???,7? ?pi?1?pi?4?pi?pi?1??i?1,2,???,7?
??pi?1?pi??i?0,1,2,???,7?是以p1?p0为首项，4为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
pi?1?pi??p1?p0??4i?p1?4i
?p8?p7?p1?47，p7?p6?p1?46，……，p1?p0?p1?40
1?4848?1作和可得：p8?p0?p1?4?4?????4?p1?p1?1
1?43?017??p1?3 48?11?4444?1311 ?p4?p4?p0?p1?4?4?4?4?p1??8?4?1?434?14?1257?0123?p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为p4?1?0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 257【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
?1?t2x?，??1?t222.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半
?y?4t?1?t2?轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．
y2【答案】（1）C:x?（2）7 ?1,x?(?1,1]；l:2x?3y?11?0；
42【思路引导】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程；
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