3、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC 求证：BC=2OP
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM
同理△AMC≌△CND ∴CM=DN ∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP
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经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．
证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG=OD=
111BD=AC=AE 222∴∠EAG=30° ∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75° ∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．
证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G
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∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC，又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG =OD =
∴∠CAE=∠CEA=
1∠GCE=15° 2在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF =180°-∠FAC-∠GCE
=180°-135°-30°=15°
111BD=AC=CE 222∴∠GCE=30° ∵AC=EC
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二）
证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H ∵CD⊥CG∴HCGF是矩形 ∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG ∴HCGF是正方形 ∴CG=GF
设AB=x，BP=y，CG=z
∵AP⊥FP
z：y=（x-y+z）：x
∴∠APB+∠FPG=90°
化简得（x-y）·y=（x-y）·z
∵∠APB+∠BAP=90°
∵x-y≠0
∴∠FPG=∠BAP
∴y=z
又∠FGP=∠PBA
即BP=FG
∴△FGP∽△PBA
∴△ABP≌△PGF
∴FG：PB=PG：AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
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求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H， 连接OH、MH、EC ∵EH=FH
∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° 又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∴P、C、H、O四点共圆 ∴∠HCO=∠HPO
又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK
又AO=CO
∴∠HCM=∠HEM
∴四边形ABCD的对角
∴H、C、E、M四点共圆 ∴∠ECM=∠EHM 又∠ECM=∠EFA ∴∠EHM=∠EFA ∴HM∥AC ∵EH=FH
∴EM=KM ∵EK∥BD ∴
OBAOOD ??EMAMKM∴OB=OD
经典题(四)
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求∠APB的度数．（初二）
解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是正三角形 ∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90°
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APBQC
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