∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线， 两平行线相交于点E，连接BE ∵PE∥AD，AE∥PD ∴ADPE是平行四边形 ∴PE=AD，
又ABCD是平行四边形 ∴AD=BC ∴PE=BC
又PE∥AD，AD∥BC ∴PE∥BC
∴BCPE是平行四边形 ∴∠BEP=∠PCB ∵ADPE是平行四边形 ∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三） 证明：在BD上去一点E，使∠BCE=∠ACD ⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD
EABCEPAD又∠ADP=∠ABP ∴∠AEP=∠ABP ∴A、E、B、P四点共圆 ∴∠BEP=∠PAB ∴∠PAB=∠PCB
D∴△BEC∽△ADC ∴
BEBC ?ADACBC∴AD·BC=BE·AC……………………① ∵∠BCE=∠ACD
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∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD
⌒=BC⌒,∴∠BAC=∠BDC ∵BC
△BAC∽△EDC
①+②得AB·CD+AD·BC =DE·AC+BE·AC
=（DE+BE）·AC =BD·AC
ABAC∴ ?DECD∴AB·CD=DE·AC……………………②
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DE 11
∴S△ADE=AE·DG，S△FDC=FC·DH
221
又S△ADE=S△FDC=S□ABCD
2∴AE·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH
∴点D在∠APC的角平分线上 ∴∠DPA＝∠DPC
经典题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：3≤L＜2． 证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，
A∵BP=BE，∠PBE=60°
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BEDPGC∴△PBE是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=3
∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G 则△ADG是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP，AG=DG ∵∠APD＞∠AGP ∴∠APD＞∠ADP
∴AD＞PA…………………………① 又BD+PD＞PB……………………② CG+PG＞PC……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L＜2
由（1）（2）可知：3≤L＜2．
2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE， 则△BPE是正三角形 ∴PE=PB
PBECD∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
此时AF=PA+PE+EF
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GF过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
31
∴GF=，BG=
22?1??3?22∴AF=GF?AG=????=2?3 ?1????2??2?∴PA＋PB＋PC的最小值是2?3
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长． 证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ 则△BPQ是等腰直角三角形，
22APD∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a
BQC∴QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2 ∴△PQC是直角三角形 ∴∠BQC=135°
∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC
=PB2+PA2-2PB·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a×a×(-
2) 2解得BC=5?22a ∴正方形的边长为5?22a
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．
解：在AB上取一点F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，连接EF、DG
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A
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