概率作业第一次(20150405)

概率作业

1.09 口袋里装有6个黑球与3个白球，每次任取1个球，不放回取两次，求：

(1) 第一次取到黑球且第二次取到白球的概率； (2) 两次取到球的颜色一致的概率。

解：设事件A表示第一次取到黑球，事件B表示第二次取到黑球。

(1) 第一次取到黑球且第二次取到白球，意味着第一次取到黑球且第二次不取到黑球，即事件A发生且事件B不发生，可用积事件AB表示。根据乘法公式得到概率

P(AB)?P(A)P(B/A)?631?? 984所以第一次取到黑球且第二次取到白球的概率为1/4。

(2)两次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件AB发生，可用和事件

AB?AB表示。由于在任意两次抽取中，不可能既是两次都取到黑球，

又同时都取到白球，说明积事件AB与AB不可能同时发生，即积事件AB与AB互斥。根据加法公式的特殊情况与乘法公式，得到概率

P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A) 65321?????98982所以两次取到球的颜色一致的概率为1/2。

1.16 盒子里装有5支红圆珠笔与8支蓝圆珠笔，每次任取1支圆珠笔，不放回取两次，求：

(1) 两次都取到红圆珠笔的概率；

(2) 第二次取到红圆珠笔的概率。

解：设事件A表示第一次取到红圆珠笔，从而事件A表示第一次取到蓝圆珠笔，再设事件B表示第二次取到红圆珠笔。

(1) 两次都取到红圆珠笔，意味着第一次取到红圆珠笔且第二次也取到红圆珠笔，即事件A与B同时发生，可用积事件AB表示，根据乘法公式得到概率

P(AB)?P(A)P(B/A)?545?? 131239所以两次都取到红圆珠笔的概率为5/39。

(2) 由于事件A，A构成最简单的完备事件组，从而对于事件B，有关系式B?AB?AB。这是容易理解的，注意到第二次取到红圆珠笔，包括第一次取到红圆珠笔且第二次也取到红圆珠笔与第一次取到蓝圆珠笔但第二次取到红圆珠笔两类情况，即事件B发生意味着积事件AB发生或积事件AB发生，于是事件B当然等于积事件AB与AB的和事件，根据全概率公式的特殊情况，得到概率

P(B)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)

=P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)

?54855???? 1312131213所以第二次取到红圆珠笔的概率为5/13。

1.17 某种产品中有90%是合格品，用某种方法检查时，合格品被认为合格品的概率为98%，而次品被误认为合格品的概率为3%，从中任取1个产品，求经检查被认为合格品的概率。

解：设事件A表示产品确为合格品，从而事件A表示产品确为次

品，再设事件B表示产品经检查被认为合格品，由题意得到概率

P(A)?90%，P(B/A)?98%，P(B/A)?3%

由于事件A,A构成最简单的完备事件组，从而对于事件B，有关系式：

B?AB?AB

这是容易理解的，注意到产品经检查被认为合格品，包括产品确为合格品经检查被认为合格品与产品确为此片但经检查被认为合格品两个部分，即事件B发生意味着积事件AB发生或积事件AB发生，于是事件B当然等于积事件AB与AB的和事件，根据全概率公式的特殊情况与加法公式的特殊情况，得到概率

P(B)?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)

?P(A)P(B/A)?(1?P(A))P(B/A)

?90%?98%?(1?90%)?3%?88.5%

所以从中任取1个产品经检查被认为合格品的概率为88.5%。 1.18 设A，B为两个事件，且已知概率P(A)?0.5，P(B)?0.6，

,P(B/A?0.4)，求：

(1) 概率P(AB)； (2) 概率P(AB)； (3) 条件概率P(B/A)； (4) 概率P(A?B)。

解：(1) 根据乘法公式与加法公式的特殊情况，得到概率

P(AB)?P(A)P(B/A)?(1?P(A))P(B/A)?(1?0.5)?0.4?0.2

(2) 根据全概率公式的特殊情况

P(B)?P(AB)?P(AB)

得到概率

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.2?0.4

(3) 根据乘法公式

P(AB)?P(A)P(B/A)

得到条件概率

P(B/A)?P(AB)0.4??0.8 P(A)0.5 (4) 根据加法公式，得到概率

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.4?0.7