B2??0I2?r
22??r?R2?I? R1?r?R3 B3?2?r??0?I?22?R3?R2?????? B3??0IR3?r22222?rR3?R2
r?R3 B4?2?r??0?I?I??0
B4?0
磁感强度B?r?的分布曲线略。 （磁场的安培环路定理）
17.电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量.
[分析] 由题16可得导线内部距轴线为r处的磁感应强度
?Ir B?r??02
2?R在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义???B?r??dS来求解.沿轴线方
向在剖面砂锅取面元dS?ldr，考虑到面元上各点B相同，故穿过面元的磁通量d??BdS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量 ???Bdr
S解 由分析可得单位长度导线内的磁通量
???R?0Ir2?R0dr?2?0I4? （磁通量积分四步走）
18. 如图11?28?a?所示，一根长直导线载有电流I1?30A，矩形回路载有电流I2?20A.试计算作用在回路上的合力.已知d?1.0cm，b?8.0cm,l?0.12cm.
[分析] 矩形上、下两段导线受安培力F1和F2的大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零.而矩形的左右两段导线，由于载流导线所在处磁感强度不等，所受安培力F3和F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力.
解 由分析可知，线框所受总的安培力F为左、右两边安培力F3和F4之矢量和，它
们的大小分别为
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F3? F4?故合力的大小为
?0I1I2l2?d
?0I1I2l2??d?b?
F?F3?F4??0I1I2l2?d??0I1I2l2??d?b??1.28?10?3N
合力的方向朝左，指向直导线. （安培力）
19.有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以dI的变化率增长.若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示.求线dt圈中的感应电动势和自感系数.
d?[分析] 本题仍可用法拉第电磁感应定律???来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁
dt通量就需用??和B2之和）.
为了积分的需要，建立坐标系.由于B仅与x有关，即B?B?x?，故取一个平行长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS?ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS?dxdy，则上述积分实际上为二重积分）.本题在工程技术上又称为互感想象，也可用公式?M??M解1 穿过面元dS的磁通量为
dIdt?B?dSS来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1求解.
d??B?dS?B1?dS?B2dS?因此穿过线圈的磁通量为 ???0I2??x?d?ddx??0I2?xddx
?d???2d?0Idd2??x?d?dx??2d?0Id2?xddx??0Id2?ln34
再由法拉第电磁感应定律，有 ???d?3?dI??d ??0ln?dt2?4dt??由?m?MI,得互感系数：M??I??0d2?ln34
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解2 当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为
??线圈与两长直导线间的互感为
?0dI2??Iln34
M?当电流以
dIdt??0d2?ln34
变化时，线圈中的互感电动势为
dI3?dI??d ??0ln?dt4?dt?2? ???M（先求磁通量，再求感生电动势和互感系数）
20.长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速度?绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设
磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差.
[分析] 首先应分清棒两端的电势差与棒上的动生电动势不是一个概念，它们之间的关系如同电源的路端电压与电源电动势之间的关系.在开路情况中，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）.
本题可直接用积分法求解棒上的电动势，此时积分上下限应为L?r和?r.另外，可将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图13?8?b?所示.
解1 如图13?8?a?所示，在棒上距O点为l处取导体元dl，则
?AB??AB?v?B??dl??L?r?r1??lBdl???BL?L?2r?
212因此棒两端的电势差为 UAB???AB??BL?L?2r?
当L?2r时，端点A处的电势较高.
解2 将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，其中
?OA?则
?AB??OA??OB??1212B?r，?OB?212?B?L?r?
2?BL?L?2r? (动生电动势)
21.长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO?轴以角速度?旋转，棒与转轴间夹角恒为?，磁感强度B与转轴平行.求OP棒在图示位置的电动势. [分析] 本题既可以用法拉第电磁感应定律???d?dt计算（但此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO)，也可用????v?B??dl来计算.由
l 15
于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的.
解 由上分析，得
?OP? ? ???v?B??dl
OP?vBsin90ll0cosadl
0???lsin??Bcos90???dl?L
2 ??Bsin2??ldl??B?Lsin??
012由矢量?v?B?的方向可知端点P的电势较高. (动生电动势)
22.金属杆AB以匀速v?2.0m?s?1平行于一长直导线移动，此导线通有电流I?40A.问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？
[分析] 本题可用公式????v?B??dl求解，可建立图13?10?a?所示的坐标系，所取导体
l元dl?dx，该处的磁感强度B??0I2?x.
解 根据分析，杆中的感应电动势为
?AB??AB?v?B??dl???1.1m?0I2?x0.1mvdx???0Iv2?ln11??3.84?10?5V
式中负号表示电动势方向由B指向A，从低到高，故点A电势较高. (动生电动势)
23.在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向. [分析] 本题可用公式???d?dt求解，但用此公式须注意，式中?应该是线框运动至任意
位置处时，穿过线框的磁通量.为此可设时刻t时，线框左边距导线的距离为?，如图13?11?c?所示，显然?是时间t的函数，且有
d?dt?v.在求得线框在任意位置处的电动势
????后，再令??d，即可得线框在题目所给位置处的电动势.
解 设顺时针方向为线框回路的正方向.根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量
为
??相应电动势为
?l1?0Il202??x???dx??0Il22?ln??l1?
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