函数及其图像知识点

《函数及其图像》知识点

一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。

①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。

③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数

④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数c?2?r中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做

的函数。

二、函数的三种表示方法：

①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。③图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。 三、函数自变量的取值范围：

函数自变量取值范围的确定如下表： 函数解析式类型 自变量取值满足的条件 整式 全体实数 分式 分母不为零 应用举例 y??4x?5（x为任意实数） 2x?3?x?2? y?x?2二次（偶次）根式 被开方数非负 y?3x?6?x?2? 四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y轴），取y向上为正方向；两条数轴的交点O叫做坐标原点。

第一象限第二象限x轴和y轴将坐标平面分成四个象限（如图）:

xO 第三象限第四象限五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标）

如图：过点P作x轴的垂线段，垂足在x轴上表示的数是2，因此点P的横坐标为 2 过点P作y轴的垂线段，垂足在y轴上表示的数是3，因此点P的纵坐标为 3 所以点P的坐标为（2 , 3） 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线）

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴上 y轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；

②表示的意思：当x?___时，y?___如点A（2，1） 表示：当x?2时，y?1

③注意x轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系：

⑴关于x轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。

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⑵关于y轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 ⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。

P(a,b)关于x轴对称_________；关于y轴对称__________；关于原点对称___________

思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90°之后的坐标。

九、数轴上的点和 是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和 也是一一对应的。

十、点P(a,b)到x轴的距离为________；到y轴的距离为_______

1、点（-3，2）到X轴的距离是 ，到Y轴的距离是

2、点P在第3象限，P到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，那么点P的坐标是 十一、点的平移：

向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______P(a,b)向上平移2格______；

（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）

十二、两点之间的距离：

①在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离

A(-2,3)A(-2,3)B(4,3)

O O B(-2,2) 概括：A、B两点之间的距离为：x1?x2或y1?y2 ②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。

A、B两点之间的距离：AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2 x1?x2y1?y2,) 221、点A（0，2）与点B（0，-3）,则AB= 2、点A（2，0）与点B（-5，0）,则AB= 3、点A（2，3）与点B（3，2）,则AB=

十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。 十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面

①确定x的取值范围，特别要小心有些情况下x并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。 ②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。

③判断函数图像是直线、还是双曲线（可以通过x的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）

A、 B两点的中点坐标为：(④最后从函数与x轴（未必一定会有）、y轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。

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十五、点是否在函数图像上：（其本质就是判断这个点所代表的x,y的值是不是解析方程的解） 如：判断点(4,6)是否在函数y?x2?2x?3图像上，即相当于x?4,y?6是不是方程y?x2?2x?3的解。或者说：当x?4，y?x2?2x?3?42?2?4?3是否会等于6。

1、点（-3，2），（a,a?1）在函数y?kx?1的图像上，则k?___,a?___ 2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（－1，2），则k= . 十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：

如：y?2x?2的图像上 已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4；求点A、B的坐标。 解析：A点相当于问你，当 x?2时，y?____；B点相当于问你：y??4时，x?___。 十七、寻找与题意相符的函数图像：

在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路

△MNR的面积为y，程为x，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x?9时，点R应运动到（ ）

A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处

Q P R y x O 4 9 （图1） （图2）

十八、一次函数的定义：函数解析式是用自变量的一次整式表示的函数叫做一次函数。形如：

M N y?kx?b(k,b是常数，k?0)

特别的，当b=0时，一次函数

y?kx(常数k?0)也叫做正比例函数。

十九、一次函数的图像是一条 ，因此画一次函数的图像只需要取 个点。 二十、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是x的值，点的纵坐标就是y的值） ⑴已知点A（2，a）在一次函数⑵直线

y??x?1上，则a= 。

y?4x?3过点（ ，0）、（0， ）

y?x?1上任意两个点的坐标 。

⑶请你写出直线

二十一、一次函数

K的取值 k>0 K<0 练习：

y?kx?b(k,b是常数，k?0)的性质：由k值的正负来决定。

代数性质 几何性质 函数的图像从左到右是上升的 函数的图像从左到右是下降的 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3

⑴已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在函数y1）和点（x2，y2）在函数二十二、一次函数k的取值 y??x?1的图像上，且x >x，那么y y⑵已知点（x，

1

2

1

2

1

1

2

1

2

y?x?1的图像上，且y>y,那x x

经过象限 图像 y?kx?b(k,b是常数，k?0)的图像特征：由k、b的取值决定

b的取值 b>0 一、二、三 k>0 b=0 一、三 b<0 一、三、四 b>0 一、二、四 k<0 b=0 二、四 b<0 二、三、四 练习：1、一次函数

y??x?1的图像经过第 象限。

2、直线y1?kx?b过第一、二、四象限，则直线y2?bx?k不经过 象限。

二十三、一次函数

y?kx?b(k,b是常数，k?0)与y轴的交点坐标：（0，b）与x轴的交点

b坐标：（?，0）练习：一次函数y?x?1与y轴的交点坐标是 。一次函数y?2x?1k与x轴的交点坐标是 。

二十四、求两个一次函数图像的交点坐标：就是把这两个一次函数的解析式组成方程组，得到一个二元一次方程组，解方程组便得到它们的交点坐标。 练习：一次函数

y??x?1和y?x?1的交点坐标是

二十五、一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与x轴和y轴的两个交点。如：作函数

y?x?2的图像

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