十字相乘法进行因式分解
1．二次三项式
多项式ax2?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x2?2x?3和x2?5x?6都是关于x的二次三项式．
在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．
在多项式2a2b2?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2?7(ab)?3，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式x2?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式
x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax2?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1?a2?a，c1?c2?c，且a1c2?a2c1?b， 3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．
【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
（1）x2?2x?15；（2）x2?5xy?6y2． 解：
例2 把下列各式分解因式： （1）2x2?5x?3；（2）3x2?8x?3． 解：
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式：
（1）x4?10x2?9； （2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；
（3）(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．
十字相乘法专项练习题
(1) a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；
(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；
(5)2x2+3x+1；
(7)6x2－13x+6；
(9)6x2－11x+3；
(11)10x2－21x+2；
(13)4n2+4n－15；
(15)5x2－8x－13；
(17)15x2+x－2；
(6)2y2+y－6； (8)3a2－7a－6； (10)4m2+8m+3； (12)8m2－22m+15； (14)6a2+a－35； (16)4x2+15x+9； (18)6y2+19y+10； (19) 2(a+b)2 +(a+b)(a－b)－6(a－b)2； (20)7(x－1)2 +4(x－1)－20；
把下列各式分解因式：
（1）x4?7x2?6； （2）x4?5x2?36；
（3）4x4?65x2y2?16y4； （4）a6?7a3b3?8b6；
（5）6a4?5a3?4a2； （6）4a6?37a4b2?9a2b4．
15．把下列各式分解因式：
（1）(x2?3)2?4x2； （2）x2(x?2)2?9； ( 3）(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2；
（4）(x2?x)2?17(x2?x)?60； （5）(x2?2x)2?7(x2?2x)?8；
（6）(2a?b)2?14(2a?b)?48．
(1)2x2?15x?7 (2) 3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6 (4) 6y2?11y?10
(5)5a2b2?23ab?10
(8)x4?7x2?18 (9)
六、解下列方程
（1）x2?x?2?0
3a2b2?17abxy?10x2y2 (7) x2?7xy?12y2 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2 (2)x2?5x?6?0 (3)3a2?4a?4?0 (4)2b2?7b?15?0
(6)
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