中小学教育教学资料
∴
|－a|5＝1，解得a＝－. 312＋[－（a＋3）]2(2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线. 设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2， 即kx－y－2＝0. 由d＝
|0－0－2|＝1，得k＝±3.
1＋k2?43??43?，2?，?，2?.
?3??3?43??43??故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是?－∞，－∪??，＋∞?.
3??3??∴切线方程为y＝±3x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为?－答案(1)－(2)B 考法2 圆的弦长相关计算
【例3－2】(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)， 故AC的斜率与BC的斜率之积为所以不能出现AC⊥BC的情况.
2
2
53－1－11·＝－， x1x221?x21??x2?(2)证明 BC的中点坐标为?，?，可得BC的中垂线方程为y－＝x2?x－?.
?22?2?2?由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－.
m2mx＝－， ①??2联立?
x21??y－＝x2?x－?， ②??2?2?又x2＋mx2－2＝0，③
由①②③解得x＝－，y＝－. m2121?m2＋9?m所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为?－，－?，半径r＝.
?22?2中小学教育教学资料
故圆在y轴上截得的弦长为2?m?r2－??＝3， ?2?2即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.
2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
【训练3】 (1)(2018·石家庄调研)已知圆M：x＋y－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是() A.内切B.相交C.外切D.相离
(2)已知圆C的方程是x＋y－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________________.
解析(1)圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)可化为x＋(y－a)＝a，由题意，d＝＝2.
所以圆M：x＋(y－2)＝2，圆心距为2，半径和为3，半径差为1，所以两圆相交. (2)圆C的标准方程为(x－4)＋(y－1)＝9， ∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3. 又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此a·kCP＝a·故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案(1)B(2)x＋y－3＝0
1.解决直线方程问题应注意：
(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线、截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法：
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l2aa22
，所以有a＝＋2，解得a221－0＝－1，∴a＝－1. 4－3中小学教育教学资料
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程. 3.直线与圆相关问题的两个关键点
(1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝
|Ax0＋By0＋C|，弦长公式|AB|＝2r2－d2(弦心距d).
A2＋B2
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)圆x＋y－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝() A.－B.－C.3D.2
解析 圆x＋y－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)＋(y－4)＝4，故圆心为(1，4).由题意，得d＝
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4334|a＋4－1|4＝1，解得a＝－. 3a2＋1答案A
2.(2018·昆明诊断)已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋my＝0互相垂直”，则命题p是命题q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要
解析“直线x－y＝0与直线x＋my＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m＝0m＝±1. ∴命题p是命题q的充分不必要条件. 答案A
3.过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，则该切线的方程为() A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
解析 依题意知，点(3，1)在圆(x－1)＋y＝r上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0. 答案B
4.(2018·衡水中学模拟)已知圆C：(x－1)＋y＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是() A.1031B.921
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12中小学教育教学资料
C.1023D.911
解析 易知P在圆C内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2， ∴最短弦的长为2r2－|PC|2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S＝×10×223＝1023. 答案C
5.(2018·湖南师大附中联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为()
12?12??5??12??12?C.?1，?D.?0，? ?5??5?A.?0，?B.[0，1]
解析 设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，∴x2＋（y－3）2＝2x2＋y2，化简得x＋(y＋1)＝4.∴点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|＝a2＋（2a－3）2，∴1≤a＋(2a－3)≤9，解之得0≤a≤. 答案A 二、填空题
6.过点(1，1)的直线l与圆(x－2)＋(y－3)＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________. 解析 易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.
又|AB|＝4，r＝3，
∴圆心(2，3)到l的距离d＝32－22＝5. 因此
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125|k－2|1＝5，解得k＝－. 2k2＋（－1）2∴直线l的方程为x＋2y－3＝0. 答案 x＋2y－3＝0
7.(2018·济南调研)已知抛物线y＝ax(a>0)的准线为l，若l与圆C：(x－3)＋y＝1相交所得弦长为3，则a＝________.
解析 由y＝ax，得x＝，∴准线l的方程为y＝－
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ya122
.又l与圆C：(x－3)＋y＝1相交的弦长为3，4a1??3?1?－∴?＋??＝1，则a＝. ?2?4a??2?22中小学教育教学资料
答案
8.某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋
12by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________.
解析 由题意，
100ab＝＝，∴a＝40，b＝24， 2 5001 000600∴直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，
|5－3＋1|3A(1，－1)到直线的距离为＝，
25＋934∵直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，∴r＝∴圆C的方程为(x－1)＋(y＋1)＝. 答案(x－1)＋(y＋1)＝ 三、解答题
9.已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程.
??3x－y－1＝0，??x＝1，?解 解方程组得?即l1与l2的交点P(1，2). ?x＋y－3＝0，?y＝1，??2
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6， 3418171817①若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB. 而kAB＝
3－21＝－， 3－5212由点斜式得直线l的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0.
②若点A，B分别在直线l的异侧， 则直线l经过线段AB的中点?4，?，
2??5??5－2y－22由两点式得直线l的方程为＝，
x－14－1即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
10.已知圆C：x＋y＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标. 解 圆C的方程为(x＋1)＋(y－2)＝2，
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