数列的综合应用
1．(2018浙江)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)．若
a1?1，则
A．a1?a3，a2?a4 C．a1?a3，a2?a4
B．a1?a3，a2?a4 D．a1?a3，a2?a4
2．(2018江苏)已知集合A?{x|x?2n?1,n?N*}，B?{x|x?2n,n?N*}．将AUB的所有元
素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得
Sn?12an?1成立的n的最小值为 ．
3．（2018江苏）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的
等比数列．
(1)设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|≤b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
*(2)若a1?b1?0,m?N,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|≤b1对
． n?2,3,L,m?1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）
4*．（2017浙江）已知数列{xn}满足：x1?1，xn?xn?1?ln(1?xn?1)(n?N)．
证明：当n?N*时 （Ⅰ）0?xn?1?xn； （Ⅱ）2xn?1?xn≤*xnxn?1； 211（Ⅲ）n?1≤xn≤n?2．
22*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考． 5．（2017江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足
an?k?an?k?1?????an?1?an?1?????an?k?1?an?k?2kan
对任意正整数n(n?k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
答案
1．B【解析】解法一 因为lnx≤x?1(x?0)，所以a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)
≤a1?a2?a3?1，所以a4≤?1，又a1?1，所以等比数列的公比q?0．
2≤0， 若q≤?1，则a1?a2?a3?a4?a1(1?q)(1?q）而a1?a2?a3≥a1?1，所以ln(a1?a2?a3)?0， 与ln(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?a4≤0矛盾，
22所以?1?q?0，所以a1?a3?a1(1?q)?0，a2?a4?a1q(1?q)?0，
所以a1?a3，a2?a4，故选B．
解法二 因为ex≥x?1，a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)， 所以ea1?a2?a3?a4?a1?a2?a3≥a1?a2?a3?a4?1，则a4≤?1，
又a1?1，所以等比数列的公比q?0．
2≤0， 若q≤?1，则a1?a2?a3?a4?a1(1?q)(1?q）而a1?a2?a3≥a1?1，所以ln(a1?a2?a3)?0 与ln(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?a4≤0矛盾，
22所以?1?q?0，所以a1?a3?a1(1?q)?0，a2?a4?a1q(1?q)?0，
所以a1?a3，a2?a4，故选B．
2．27【解析】所有的正奇数和2(n?N)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}
655中，2前面有16个正奇数，即a21?2，a38?2．当n?1时，S1?1?12a2?24，
n*不符合题意；当n?2时，S2?3?12a3?36，不符合题意；当n?3时，
S3?6?12a4?48，S4?10?12a5?60，不符合题意；当n?4时，不符合题意；……；
21?(1?41)2?(1?25)?当n?26时，S26?= 441 +62= 503<12a27?516，不符合题
21?222?(1?43)2?(1?25)?意；当n?27时，S27?=484 +62=546>12a28=540，符合题
21?2意．故使得Sn?12an?1成立的n的最小值为27．
n?13．【解析】(1)由条件知：an?(n?1)d,bn?2．
因为|an?bn|≤b1对n=1，2，3，4均成立， 即|(n?1)d?2n?1|≤1对n=1，2，3，4均成立，
即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得因此，d的取值范围为[,]．
n?1(2)由条件知：an?b1?(n?1)d,bn?b1q．
75≤d≤． 327532若存在d，使得|an?bn|≤b1(n=2，3，···，m+1)成立，
n?1即|b1?(n?1)d?b1q|≤b1(n=2，3，···，m+1)，
qn?1?2qn?1b1?d?b1． 即当n?2,3,L,m?1时，d满足
n?1n?1因为q?(1,m2]，则1?qn?1?qm?2，
qn?1?2qn?1b1?0，对n?2,3,L,m?1均成立． b1?0，从而
n?1n?1因此，取d=0时，|an?bn|?b1对n?2,3,L,m?1均成立．
qn?1?2qn?1}的最大值和数列{}的最小值（n?2,3,L,m?1）下面讨论数列{． n?1n?1 qn?2qn?1?2nqn?qn?nqn?1?2n(qn?qn?1)?qn?2???①当2?n?m时，， nn?1n(n?1)n(n?1)nmnn?1n当1?q?2时，有q?q?2，从而n(q?q)?q? 2?0．
1mqn?1?2}单调递增， 因此，当2?n?m?1时，数列{n?1qn?1?2qm?2}的最大值为故数列{． n?1mxx②设f(x)?2(1?x)，当x?0时，f?(x)?(ln2?1?xln2)2?0，
所以f(x)单调递减，从而f(x)?f(0)?1．
qn1q(n?1)11n?2n(1?)?f()?1， 当2?n?m时，n?1?qnnnn?1qn?1}单调递减， 因此，当2?n?m?1时，数列{n?1qn?1qm}的最小值为故数列{． n?1mb1(qm?2)b1qm因此，d的取值范围为[,]．
mm4．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn?0
当n?1时，x1?1?0 假设n?k时，xk?0，
那么n?k?1时，若xk?1≤0，则0?xk?xk?1?ln(1?xk?1)≤0，矛盾，故xk?1?0． 因此xn?0(n?N)
所以xn?xn?1?ln(1?xn?1)?xn?1 因此0?xn?1?xn(n?N)
（Ⅱ）由xn?xn?1?ln(1?xn?1)?xn?1得
2xnxn?1?4xn?1?2xn?xn?1?2xn?1?(xn?1?2)ln(1?xn?1)
**记函数f(x)?x?2x?(x?2)ln(1?x)(x≥0)
函数f(x)在[0,??)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0， 因此xn?1?2xn?1?(xn?1?2)ln(1?xn?1)?f(xn?1)≥0 故2xn?1?xn≤（Ⅲ）因为
22xnxn?1(n?N?) 2xn?xn?1?ln(1?xn?1)≤xn?1?xn?1?2xn?1
所以xn≥1得 n?12由
xnxn?11111?≥2(?)?0 ≥2xn?1?xn得
xn?12xn22111111?≥2(?)≥???≥2n?1(?)?2n?2 xn2xn?12x12所以
故xn≤12n?211综上，n?1≤xn≤n?2(n?N?) ．
225．【解析】证明:（1）因为?an?是等差数列，设其公差为d，则an?a1?(n?1)d，
从而，当n≥4时，an?k?an?k?a1?(n?k?1)d?a1?(n?k?1)d
?2a1?2(n?1)d?2an，k?1,2,3,
所以an?3?an?2+an?1+an?1?an?2+an?3?6an， 因此等差数列?an?是“P(3)数列”.
（2）数列?an?既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n?3时，an?2?an?1?an?1?an?2?4an，①
当n?4时，an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?6an.② 由①知，an?3?an?2?4an?1?(an?an?1)，③
an?2?an?3?4an?1?(an?1?an)，④
将③④代入②，得an?1?an?1?2an，其中n?4， 所以a3,a4,a5,L是等差数列，设其公差为d'.
在①中，取n?4，则a2?a3?a5?a6?4a4，所以a2?a3?d'， 在①中，取n?3，则a1?a2?a4?a5?4a3，所以a1?a2?2d'， 所以数列{an}是等差数列.
相关推荐：
loading