（2）平面CCM?平面ABC．
111 证明：（1）在三棱柱ABC?ABC中，AB//AB， …… 2
11111分
又AB?平面ABC，AB?平面ABC， 111111 所以AB//平面ABC． …… 5
11分
（2）在直三棱柱ABC?ABC中，CC?平面ABC，
1111111 又AB?平面ABC，所以CC?AB． …… 711111111分
因为AC?BC，所以AC?BC．
1111 又因为点M为棱AB的中点，所以CM?AB． …… 9
11111分 又CC1C1M?C1，CC1，C1M?平面C1CM，
所以AB?平面CCM． …… 12
111分
又AB?平面ABC， 1111 所以平面CCM?平面ABC． …… 14111分
16．（本小题满分14分）
B，C所对边分别为a，b，c．设△ABC的内角A，向量且m?n．
（1）求A的大小； （2）若
，求cosC的值． 6n?4m?a，3b??，n??sinB，?cosA?，
解：（1）因为m?n，所以m?n?0，即分
由正弦定理得，a， b?sinAsinB 所以asinB?3bcosA?0．
…… 2
．
…… 4
sinAsinB?3sinBcosA?0分
在△ABC中，B??0，π?，sinB?0，所以sinA?3cosA．
若cosA?0，则sinA?0，矛盾．
若cosA?0，则tanA?sinA． cosA?3
在△ABC中，A??0，π?，所以A?π． 3分
（2）由（1）知，
A?π，所以3n??sinB，?12?．
因为
n?6，所以4sin2B??．
?12?2?64 解得sinB?2（负值已舍）． 4分
因为
sinB?24?1，所以20?B?π或5π66?B?π．
在△ABC中，又A?π，故30?B?π，所以cosB?0． 6 因为sin2B?cos2B?1，所以cosB?14． 4分
从而cosC??cos?A?B?
??cosAcosB?sinAsinB
??11432 2?4?2?4 ． ?6?14 8分
…… 7 …… 9…… 11…… 14
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：x2的左顶点A作直线l，与椭圆C
?y2?14和y轴正半轴分别交于点P，Q． （1）若AP?PQ，求直线l的斜率；
（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：AP?AQ为定值．
MN2 解：（1）依题意，椭圆C的左顶点A(?2，0)，
y l 设直线l的斜率为k(k?0)，点P的横坐标为x， Q PP N 则直线l的方程为y?k(x?2)．① …… 2分
又椭圆C：x2， ②
?y2?14 由①②得， 则
A M ，
（第17题）
O x ?4k2?1?x2?16k2x?16k2?4?0，从而22． …… 516k?42?8k?2?xp?xp?4k2?11?4k2分
因为AP?PQ，所以 所以2?8k21?4k2xp??1．
??1，解得
（负值已舍）． …… 83k?2分
（2）设点N的横坐标为x．结合（1）知，直线MN的方程为y?kx．③
N 由②③得，分
从而
xN2． …… 104?1?4k2AP?AQ2?xp?2?2MN2?2xN?? …… 12
分
22?8k2?221?4k?4?421?4k??
分
18．（本小题满分16分）
?12，即证． …… 14
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分． （1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面 半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
甲
解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为 l，r，
乙
则1 …… 4
??2πl?2πr，?4??l?l?r?2r?2，x 分 r 解得 x …… 6分
?52?2r?，??甲 23??l?202?8.?23? （2）设被完全覆盖的长方体底面边长为x，宽为y，高为z， 则x?z?1， ???2y?2z?1，yx z 解得z?1?x， yy …… 8分 ???x y?x?1.z?x ?2z yz 22乙 则长方体的体积：
V?xyz?xx?12??，1231?1?x???x?2x?2x2?x?1.3 …… 10分
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