高考数学 第5讲 几何概型
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，则含有麦锈病种子的概率是 A．1
B．0.1
( )．
C．0.01 D．0.001
解析 设事件A为“10 mL小麦种子中含有麦锈病种子”，由几何概型的概10
率计算公式得P(A)＝1 000＝0.01，所以10 mL小麦种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 答案 C
2. (2013·哈尔滨二模)如图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 16
A.5
( )．
21B.5 23C.5 19D.5 S13823
解析 由几何概型的概率公式，得10＝300，所以阴影部分面积约为5，故选C. 答案 C
3．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 1
A.4 1
C.2
1B.3 2D.3
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( )．
1
解析 S△ABE＝2|AB|·|AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|. S△ABE1故所求概率P＝＝2.
S矩形ABCD答案 C
4．(2012·辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为 1A.6
1
B.3
2
C.3
4D.5 ( )．
解析 设出AC的长度，先利用矩形面积小于32 cm2求出AC长度的范围，再利用几何概型的概率公式求解．设AC＝x cm，CB＝(12－x)cm，0＜x＜12，所以矩形面积小于32 cm2即为x(12－x)＜32?0＜x＜4或8＜x＜12，故所求82
概率为12＝3. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
1?ππ?5．(2013·长沙模拟)在区间?－2，2?上随机取一个数x，cos x的值介于0至2之间
??的概率为________．
解析 根据题目条件，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P＝?ππ?
2?2－3???1
＝. π?－π?3??2－?2?1答案 3 6．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投1
掷一点，若此点到圆心的距离大于2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离1
小于4，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周
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11?2?2π－?4?2π
13
末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝
π16. 13
答案 16 三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
3
解 弦长不超过1，即|OQ|≥2，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的32×23
概率公式得P(A)＝2＝2.
3
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－2. 8．(13分)已知关于x的一次函数y＝mx＋n.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
?m＋n－1≤0，(2)实数m，n满足条件?－1≤m≤1，
?－1≤n≤1，
求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率． 解 (1)抽取的全部结果的基本事件有：
(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件．
设使函数为增函数的事件为A，则A包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，63
－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P(A)＝10＝5.
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?m＋n－1≤0，
(2)m，n满足条件?－1≤m≤1，
?－1≤n≤1
的区域如图所示，
要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，
121
∴所求事件的概率为P＝7＝7.
2
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 4－πA.2 4－πC.4
π－2B.2 π－2D.4
( )．
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P2π－4π－2
＝4＝2. 答案 B
2．(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a2b
和b，则方程x＝22a－x有不等实数根的概率为 1A.4
1
B.2
3
C.4
2D.5
( )．
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2b
解析 方程x＝22a－x，即x2－22ax＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a)2－4×2b>0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括
2b
边界)，而事件A“方程x＝22a－x有不等实数根”的可能结果为图中阴影1
2×1×11
部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P(A)＝＝2.故选B.
1×1答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．
解析 确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2144
为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2×2×3π×13＝3π，圆柱的体4π3
积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－3π＝59. 5答案 9 4．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任1
取一点P，使得VP－ABC<2VS－ABC的概率是________．
1
解析 三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<2VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱1111
Sh－×S×3342h7
锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝＝8.
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