5.2 平面向量的坐标运算
【套路秘籍】---千里之行始于足下 一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
uuur（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1）， |a|=x1+y1，|a＋b|=(x1+x2)+(y1+y2). 3．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b?x1y2－x2y1=0. 4．向量的夹角
2222uuuruuur已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如
果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 坐标运算
→【例1】（1）已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为．
→→→
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2
【解析】（1） 设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0. （2）由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
1
∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
?－6m＋n＝5，?∴???－3m＋8n＝－5，
解得?
?m＝－1，?
??n＝－1.
∴m＋n＝－2.
【套路总结】 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． 【举一反三】
1→→→
1.设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋a2
b的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】 D
→→→→→→→
【解析】 由题意可得，OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，所以AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝→
OC－OA＝(－b－1，2)．
→→
又∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，
12?12?b4a?b4a?又∵a>0，b>0，∴＋＝?＋?(2a＋b)＝4＋?＋?≥4＋4＝8，当且仅当＝时，取“＝”．故选D.
→
ab?ab??ab?
ab→
2．已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)．若向量PQ与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________. 2【答案】 －
3
【解析】 点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)， →→
∴向量PQ＝2PM＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．
2→
又PQ与向量a＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－. 3
3.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )
?8?A.?1，? ?3?
C.?
?138?B.?－，? ?33?
4??13
D.?－，－?
3??3
2
?13，4?
??33?
【答案】 D
4??13
【解析】 由已知3c＝－a＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝?－，－?.
3??3
考向二 平面向量在几何中 的运用
→
【例2】已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足|CM|＝→→→
1，则|OA＋OB＋OM|的最大值是( )
A.2＋1 B.7＋1 C.2－1 D.7－1 【答案】 A
【解析】 设点M的坐标是(x，y)，
→
∵C(0，－2)，且|CM|＝1，
∴x＋?y＋2?＝1，则x＋(y＋2)＝1， 即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆， ∵A(0,1)，B(1,0)，
→→→
∴OA＋OB＋OM＝(x＋1，y＋1)，
→→→22
则|OA＋OB＋OM|＝?x＋1?＋?y＋1?，几何意义表示：点M(x，y)与点N(－1，－1)之间的距离，即圆C上的点与点N(－1，－1)的距离，
∵点N(－1，－1)在圆C外部，
→→→22
∴|OA＋OB＋OM|的最大值是|NC|＋1＝?0＋1?＋?－2＋1?＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】
1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:x?ky?1?0与圆C:x?y?4相交于A, B两点，
222
2
2
2
uuuuruuuruuurOM?OA?OB．若点M在圆C上，则实数k?（ ）
A．?2 B．?1 C．0 D．1
3
【答案】C
考向三 向量中的坐标
uuuruuur【例3】给定两个长度为1的平面向量OA,OB，它们的夹角为120o.如图1所示，
uuuruuuruuur点C在以O为圆心的圆弧?AB上变动.若OC?xOA?yOB,其中x,y?R，则x?y的最大值是______.
【答案】2
uuuruuuruuur【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C与A重合时，OC?1?OA?0?OB,x?y?1，
uuuruuuruuur当C与B重合时，OC?0?OA?1?OB,x?y?1，
当C从?AB的端点向圆弧内部运动时，x?y?1， 于是猜想当C是?AB的中点时，x?y取到最大值.
4
当C是?AB的中点时，由平面几何知识OACB是菱形，
∴uOCuur?uOAuur?uOBuur,∴x?y?1?1?2.
猜想x?y的最大值是2.
解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设?AOC??，则
A(1,0),B(?12,32),C(cos?,sin?).
于是uOCuur?xOAuuur?yOBuuur可化为：
(cos?,sin?)?x(1,0)?y(?12,32)，
??∴?cos??x?1?2y, （1） ???sin??32y.解法2 函数法求最值
??x?cos??1sin?,由方程组（1）得： ??3
?2??y?3sin?.∴x?y?3sin??cos??2sin(??30o)，又0o???120o， ∴当??30o时，(x?y)max?2. 解法3 不等式法求最值
5
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