2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

当C是?AB的中点时，由平面几何知识OACB是菱形，

∴uOCuur?uOAuur?uOBuur,∴x?y?1?1?2.

猜想x?y的最大值是2.

解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设?AOC??，则

A(1,0),B(?12,32),C(cos?,sin?).

于是uOCuur?xOAuuur?yOBuuur可化为：

(cos?,sin?)?x(1,0)?y(?12,32)，

??∴?cos??x?1?2y, （1） ???sin??32y.解法2 函数法求最值

??x?cos??1sin?,由方程组（1）得： ??3

?2??y?3sin?.∴x?y?3sin??cos??2sin(??30o)，又0o???120o， ∴当??30o时，(x?y)max?2. 解法3 不等式法求最值

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由方程组（1）得：1?sin2??cos2??x2?y2?xy?(x?y)2?3xy，

∴xy?1(x?y)2?133， 由x?0,y?0，及x?y?2xy得：(x?y)2?4xy， ∴(x?y)2?4，∴x?y?2，当且仅当x?y?1时取等号. ∴(x?y)max?2.

思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量

∵uOCuur?xOAuuur?yOBuuur,

uuu∴???OCruuuruuuruuuruuuruuur?uOCuur?OA?uOBuur?xOA?xOAuuur?OA?yOB?OA,?uOBuur?yOBuuur?uOBuur. ?设?AOC??，则 ?BOC?120o??，又|uOCuur|?|uOAuur|?|uOBuur|?1，

?∴??cos??x?1y,?2 ???cos(120o??)??12x?y.∴x?y?2[cos??cos(120o??)]?2sin(??30o)， ∴当??30o时，(x?y)max?2. 解法5 两边平方法

∵uOCuur?xOAuuur?yOBuuur,∴uOCuur2?(xOAuuur?yOBuuur)2,

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∴1?x2?y2?xy?(x?y)2?3xy

(x?y)2(x?y)2， ?(x?y)?3??442∴x?y?2，当且仅当x?y?1时取等号， ∴(x?y)max?2.

思考方向四 考虑平行四边形法则

过C作CM∥OB交OA于M，作CN∥OA交OB于N，则OMCN是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：

uuuruuuuruuurOC?OM?ON，在?OMC中，设?AOC??，

则 ?BOC?120o??， 且|OM|?x,|MC|?y. 解法6 利用正弦定理

OMMCOC， ??sin?OCMsin?COMsin?OMCxy1x?y1???，由等比性值得：，

sin(60o??)sin?sin60osin(60o??)?sin?sin60o∴x?y?2sin(??30o)，∴当??30o时，(x?y)max?2. 解法7 利用余弦定理

|OC|2?|OM|2?|MC|2?2|OM|?|MC|cos60o,

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∴1?x2?y2?xy?(x?y)2?3xy

(x?y)2(x?y)2， ?(x?y)?3??442

∴x?y?2，当且仅当x?y?1时取等号， ∴(x?y)max?2. 【举一反三】

→→→→→→→→

1.如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|→→→→→

＝|OB|＝1，|OC|＝23.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

【答案】6

【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，

→→→则OC＝OB1＋OA1，

→→→→

因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°， 所以∠B1OC＝90°.

→

在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝23， →→

所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，

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