BC·CD225EC＝＝＝，
BD55
25即圆C的半径为，
5
422
∴P点的轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝. 525
?x＝2＋cos θ，?5
设P(x，y)，则?
25
y＝1＋sin θ??5
0
0
0
0
(θ为参数)，
→→→
而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．
→→→
∵AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， 1525∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.
255两式相加，得
255
sin θ＋1＋cos θ 55
λ＋μ＝1＋
＝2＋sin(θ＋φ)≤3?其中sin φ＝
?
?525?，cos φ＝?， 55?
π
当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
2
7.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为→→→
圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)．若AP＝λED＋μAF，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是．
13
【答案】 ?－
??21?，? 22?
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，E(2,0)，D(0,2)，F(3,1)， π??π
P(cos α，sin α)?－≤α≤?，
?
2
2?
→→→
即AP＝(cos α，sin α)，ED＝(－2,2)，AF＝(3,1)． →→→∵AP＝λED＋μAF，
∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，
11
∴λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)，
84π?112?
∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin?α－?.
4?222?ππ
∵－≤α≤，
223πππ∴－≤α－≤.
444∴－
π?122?≤sin?α－?≤.
4?222?
8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q→→→
上及内部的动点，设向量AP＝mAB＋nAF(m，n为实数)，求m＋n的最大值．
14
【答案】5
【解析】如图所示，
①设点O为正六边形的中心， →→→则AO＝AB＋AF.
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连结OP， →→→则AP＝AO＋OP， →→
∵OP与FB共线，
→→
∴存在实数t，使得OP＝tFB， →→→→→→→则AP＝AO＋tFB＝AB＋AF＋t(AB－AF) →→
＝(1＋t)AB＋(1－t)AF，
∴此时m＋n＝1＋t＋1－t＝2，取得最小值．
→5→5→5→→＝5AB②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点为P，则AP＝AO＝→＋AF，
22AB＋AF22
()
此时m＋n＝5，为最大值．
→2→→→
9.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP＝AB＋λAC，则|AP|的
3
15
最大值为________． 【答案】
213
3
【解析】 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，
C(1，3)，
设点P为(x，y)，0≤x≤3，0≤y≤3， →2→→∵AP＝AB＋λAC，
3
2
∴(x，y)＝(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，
3
?x＝2＋λ，∴?
?y＝3λ，
∴y＝3(x－2)，① 直线BC的方程为y＝－
3
(x－3)，② 2
7x＝，??3
联立①②，解得?
3y＝，??3→→
此时|AP|最大，∴|AP|＝
491213＋＝. 933
→→→→
10.已知三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，BE＝3EC，若点P是BC边上的动点，则AP·AE的取值范围是________．
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