自考高等数学（一）第五章 一元函数积分学

第五章 一元函数积分学

5.1 原函数和不定积分的概念

一、原函数与不定积分的概念

定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。 例：

，sinx是cosx的原函数。

Lnx是

在区间（0，+∞）内的原函数。

原函数存在定理：

如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。

简言之：连续函数一定有原函数。

问题：（1）原函数是否唯一？

（2）若不唯一它们之间有什么联系？

例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx

（C为任意常数）

关于原函数的说明：

（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。

（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）

证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）

=f（x）=f（x）=0

∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）

不定积分的定义：

函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。

式，C为任意常数。

,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达

例：求。

【答疑编号11050101】

解：

例：求。

【答疑编号11050102】 解：

积分曲线

例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。

【答疑编号11050103】

解：设曲线方程为y=f（x）,

根据题意知

即f（x）是2x的一个原函数。

由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为y =x2+1。

函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。

不定积分的性质

结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。

5.2 基本积分公式

实例

启示 能否根据求导公式得出积分公式？

结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。

基本积分表 （1）

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