可得B＝＝﹣1，A＝＝2，?+φ＝﹣
，∴φ＝
＝﹣，∴ω＝2．
）﹣1． ，﹣1），k∈Z． ）﹣1＝2sin2x﹣
再根据五点法作图可得2?令2x+
＝kπ，求得x＝
，∴f（x）＝2sin（2x+
﹣+
，k∈Z，故函数的对称中心为（
（Ⅱ）将f（x）的图象向右1的图象；
平移个单位，可得y＝2sin（2x﹣
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sinx﹣1的图象； 最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）＝2sinx 的图象， 在x∈（0，π）上，sinx∈（﹣，1]，g（x）∈（﹣1，2]， 故函数y＝g（x）在x∈（0，π）上有最大值为2，此时，x＝g（x）的增区间，即y＝sinx的增区间，为[2kπ﹣得增区间为（0，
]；
，2kπ+
]，结合x∈（0，π），
，2kπ+
．
]，结合x∈（0，π），可
g（x）的减区间，即y＝sinx的减区间，为[2kπ+可得减区间为[
，
）．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性和最值，属于中档题． 21．（12分）近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国属目，无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b． （I）求a，b 的值；
（Ⅱ）求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；
（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60），[60，70）中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60）的概率．
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【分析】（Ⅰ）根据题目频率分布直方图频率之和为1，已知其中a＝4b，可得答案． （Ⅱ）利用矩形的面积等于频率为0.5可估算中位数所在的区间．利用估算中位数定义，矩形最高组估算纵数可得答案；
（Ⅲ）利用古典概型的定义找出概率的分子分母求概率即可．
【解答】解：研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图的频率分布直方图，其中a＝4b，
（Ⅰ）（b+0.008+a+0.027+0.035）×10＝1，其中a＝4b，解得：a＝0.024，b＝0.006； （Ⅱ）随机抽取了1000名市民进行调查，则估计被调查的市民的满意程度的 平均数：55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27+95×0.06＝74.9， 众数：75，
中位数：由题中位数在70到80区间组，0.035x＝0.5﹣0.08﹣0.24＝0.18；x≈5.14， 中位数：70+5.14≈75.14
（Ⅲ）若按照分层抽样从[50，60），[60，70）中随机抽取8人， 则[50，60）共80人抽2人， [60，70）共240人抽6人，
再从这8人中随机抽取2人，则共有C8＝28种不同的结果， 其中至少有1人的分数在[50，60）共C5C2+C5＝13种不同的结果， 所以至少有1人的分数在[50，60）的概率为：p＝
；
1
1
2
2
【点评】本题考查由频数分布直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图的应用，属于中档题． 22．（12分）已知向量＝（
cosωx，cosωx），＝（sinωx，﹣cosωx），ω＞0且函数f（x）
＝?的两个对称中心之间的最小距离为
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（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（（Ⅱ）若函数g（x）＝a+1﹣范围
）的值；
f（x）在x∈[0，π]上恰有两个零点，求实数a的取值
【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可．
（Ⅱ）求出函数G（x）的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）向量＝（则f（x）＝?＝﹣，
且函数f（x）的两个对称中心之间的最小距离为∴f（x）＝sin（2x﹣f（
）＝sin（2×
）﹣， ﹣
）﹣＝1﹣＝； f（x）＝a+1﹣
）﹣，
时，y＝sin（x﹣
）才有两个交点， sin（x﹣
）+
，
，∴T＝
＝2?
，ω＝1，
cosωx，cosωx），＝（sinωx，﹣cosωx），ω＞0，
2
sinωxcosωx﹣cosωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣＝sin（2ωx﹣）
（Ⅱ）函数g（x）＝a+1﹣令g（x）＝0，得a＝当0≤x≤π时，﹣当
≤x﹣
≤
sin（x﹣≤x﹣且x﹣
≤≠
﹣1，
此时≤sin（x﹣则
≤
sin（x﹣sin（x﹣sin（x﹣
）＜1， ）＜）﹣）﹣
， ＜﹣1＜
， ﹣1，
即0≤﹣1≤
即﹣1≤a＜﹣1，
﹣1）．
即实数a的取值范围是[﹣1，
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质应用问题，利用向量数量积的定义结合
第23页（共24页）
辅助角公式进行化简是解题的关键．
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