解 因为侧面PCD⊥底面ABCD， 平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD⊥CD， 所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD， π
又∠ADC＝，
2
故DA，DC，DP两两互相垂直．
如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
则平面PBD的一个法向量为n＝(－1,1,0)， →→→
PC＝(0,2，－1)，PQ＝λPC，λ∈(0,1)， 所以Q(0,2λ，1－λ)．
设平面QBD的一个法向量为m＝(a，b，c)， →→由m·BD＝0，m·DQ＝0，
?a＋b＝0，?得? ?2λb＋?1－λ?c＝0，?
2λ
所以取b＝1，得m＝?－1，1，λ－1?，
??
π|m·n|
所以cos ＝，
4|m||n|即
2·22λ2＋?λ－1?2
＝2. 2
??
注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.
4．在三棱锥S－ABC中，底面是边长为23的正三角形，点S在底面ABC上的射影O是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
(1)若D为棱SB上一点，当
SD
为何值时，CD⊥AB； DB
(2)求二面角S－BC－A的余弦值的大小．
解 以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系． 由题意知∠SBO＝45°，SO＝3.
所以O(0,0,0)，C(0，3，0)，A(0，－3，0)，S(0,0,3)，B(3,0,0)． →→
(1)设BD＝λBS(0≤λ≤1)，
→→→
则OD＝(1－λ)OB＋λOS＝(3(1－λ)，0,3λ)， →
所以CD＝(3(1－λ)，－3，3λ)． →
因为AB＝(3，3，0)，CD⊥AB， 2→→
所以CD·AB＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝. 3故
SD1
＝时，CD⊥AB. DB2
(2)平面ACB的法向量为n1＝(0,0,1)． 设平面SBC的法向量n2＝(x，y，z)，
?3x－3z＝0，→→
由n2·SB＝0，n2·SC＝0，得?
3y－3z＝0，??x＝z，
解得?取n2＝(1，3，1)，
?y＝3z，
1×0＋3×0＋1×11
所以cos〈n1，n2〉＝＝， 22251＋1＋?3?又显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为5
. 5
4.曲线与方程、抛物线
1．(2017·江苏东海中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．
(1)求p，t的值；
(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标． 解 (1)将点A(8，－4)代入y2＝2px，得p＝1， 将点P(2，t)代入y2＝2x，得t＝±2， 因为t<0，所以t＝－2.
24(2)依题意，M的坐标为(2,0)，直线AM的方程为y＝－x＋，
3324??y＝－3x＋3，1?
联立?解得B??2，1?， 2??y＝2x，1
所以k1＝－，k2＝－2，
37
代入k1＋k2＝2k3，得k3＝－，
671
从而直线PC的方程为y＝－x＋.
63
?联立?71
y＝－?6x＋3，
24y＝－x＋，
33
8－2，?. 解得C?3??
2．(2017·江苏华罗庚中学质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
解 (1)将点(2,1)代入抛物线C的方程，得p＝2， 所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)设直线l的方程为y＝kx－1，
又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)， 1??y＝4x2，由?得x2－4kx＋4＝0， ??y＝kx－1，则Δ＝16k2－16>0，x1x2＝4，x1＋x2＝4k，
2
x2x12－44x2－x1y2－y1
所以kA′B＝＝＝，
4x2－?－x1?x1＋x2
x22x2－x1
于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)，
44x2－x1x2－x1x22所以y＝(x－x2)＋＝x＋1，
444当x＝0时，y＝1，所以直线A′B过定点(0,1)．
3．(2017·江苏常州中学调研)如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移→1→→→
动，延长PQ至点M，使PQ＝QM，且PR·PM＝0.
2
(1)求动点M的轨迹C1；
(2)圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点(0,1)的直线l依次交C1于A，D两点(从左到右)，交C2于B，→→
C两点(从左到右)，求证：AB·CD为定值． (1)解 方法一 设M(x，y)，P(x1,0)，Q(0，y2)， →→→1→则由PR·PM＝0，PQ＝QM及R(0，－3)，得
2
?
?－x＝1x，
2?
11?y＝?2y－2y，
12
2
－x1?x－x1?＋?－3?y＝0，
化简得x2＝4y.
所以动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线． 方法二 设M(x，y)．
xy→1→
－，0?，Q?0，?. 由PQ＝QM，得P??2??3?2
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