∴A=；
，A=
及正弦定理，得
，其中
，
，
，得
．
，
，
（2）由a=得b=2sinB，所以周长由于从而周长
19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得
，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC， 面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC， ∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD 另解：在图1中，可得从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示， 则
，
， ，
，
设则
即
为面CDM的法向量，
，解得
令x=﹣1，可得又∴
为面ACD的一个法向量
∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．
20．已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1）， 令f′（x）=0，得x=，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0， 所以f（x）在
上单调递增．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立， 即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min．
记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞）， 则h′（x）=+1﹣
=
=
．
上单调递减；在
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、
右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设
=λ
．
（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程； （2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，围．
]，求实数λ的取值范
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得即可得出．
（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．
【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点， ∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a． 由题意，得4a=8，解得a=2． ∵点P的坐标为（1，），∴解得b2=3． ∴椭圆C的方程为
+
=1．
+
=1，
+
=1，解出
（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）． ∵P在椭圆上，∴∵F1（﹣c，0），∴由
=λ
+
=1，解得y0==（﹣2c，﹣
，即P（c，），=λy1，
c，﹣=1，
）． ）．
=（x1+c，y1）．
，得﹣2c=λ（x1+c），﹣c，y1=﹣
，∴Q（﹣）2e2+
解得x1=﹣
∵点Q在椭圆上，∴（
即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1， ∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ=∵e∈[，
=
﹣3．
]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．
∴λ的取值范围为[，5]．
22．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+1=0，a1=2 （1）求a2，a3；
（2）证明数列为递增数列； （3）求证：
＜1．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）a1=2，
（2）作差即可证明：an+1﹣an＞0． （3）
用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】（1）解：∵a1=2，（2）证明：∴an+1＞an． （
3
）
证
明
，分别令n=1，2，即可得出a2，a3．
，利
，∴a2=22﹣2+1=3，同理可得：a3=7．
，对n∈N*恒成立，
：
故
．
=
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